Матрица перехода от одного базиса к другому

Пусть – первоначальный базис пространства К, а – его новый базис. Выразим векторы через векторы , образующие первый базис. Имеем , j = 1, 2,..., n. Координаты векторов в базисе можно записать в виде матрицы:

,

здесь столбцы матрицы – это координаты векторов по базису .

Определение. Матрицу Т, вектор-столбцы которой составлены из координат векторов нового базиса, выраженных через первоначальный базис, называют матрицей перехода от одного базиса к другому.

Матрица перехода Т обладает следующими свойствами:

1. Поскольку и – базисы одного и того же пространства К, то число их одинаково, а разложение по базису единственно. Поэтому матрица Т всегда квадратная и определяется однозначно.

2. Вектор-столбцы матрицы Т линейно независимы (это вектора базиса). Таким образом, ранг r (T) матрицы перехода T равен n; это означает, что определитель D (T) ¹0 и матрица T всегда имеет обратную T^{– 1}, которая будет матрицей перехода от к .

Матрица перехода Т представляет взаимно однозначное отображение

пространства Pⁿ на себя. Действительно, пусть – произвольный элемент из К. Имеем

выразив и Т, получим

Векторы и принадлежат пространству Pⁿ, и при этом . Разложение по базисам единственно и обратимо (существует обратная матрица T^{– 1}), следовательно – взаимно однозначное отображение.

В качестве наглядной иллюстрации матрицы перехода рассмотрим ее для геометрического пространства, в котором матрица перехода связана с преобразованием системы координат и определяет линейное отображение R ³ на R ³.