Системы координат в геометрическом пространстве

Матрицу перехода в геометрическом пространстве запишем для ортонормированных базисов. Выберем в качестве первого базиса и свяжем с ней систему координат x, y, z, а в качестве второго и связанную с ней систему координат x ', y ', z ' (рис.2.8). Тогда

z ' y '

z

x `

у

0 x

Рис. 2.8

,

, (8.1)

.

Если первую строку умножить последовательно на , учитывая, что

а

то получим: ; ; .

Поступая аналогично со второй и третьей строками равенства, находим:

Таким образом, матрица перехода Т одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису, связанная с преобразованием системы координат в геометрическом пространстве, имеет вид

(8.2)

и ее элементы определяются косинусами углов, которые образуются при повороте новой системы координат относительно старой. Если поворота системы координат при их преобразовании не происходит, а это наблюдается при параллельном переносе системы координат, тогда а остальные косинусы равны нулю. Поэтому матрица перехода для параллельного переноса системы координат является единичной

.

Теперь рассмотрим матрицу перехода Т как матрицу линейного отображения пространства R ³ на себя. Пусть – радиус-вектор некоторой точки М в системе координат . В системе координат x, y, z этот же вектор имеет разложение:

где x ₀, y ₀, z ₀координаты начала координат в системе координат x, y, z. Тогда вектор , а

и они принадлежат пространству R ³. Поэтому отображение в координатной форме имеет вид:

или (8.3)

Отсюда мы получаем формулу для изменения координат точки М при преобразовании системы координат в общем случае, когда происходит и параллельный перенос, и поворот системы координат.

или (8.4)

В формулах (8.3) и (8.4) предполагаются известными и , т.е. известны координаты точки М в новой системе координат и отыскиваются координаты точки в старой системе.

Более естественной является обратная задача, когда известны Х ₀ и Х, а требуется найти . Для этого случая полагаем и тогда

откуда

(8.5)