Уравнений. Теорема кронекера– Капелли

2. Если к основной матрице А присоединить столбец свободных членов в ₁, в ₂ ,..., в_k системы, то получим так называемую расширенную матрицу А^* данной системы

3. Матрицу-столбец свободных членов размер матрицы k ´1.

4. Матрицу-столбец неизвестных размер матрицы n ´1.

Используя определение произведения матриц, систему (7.1) можно записать в виде

АХ = В (7.4)

Эта форма записи системы линейных уравнений называется матричной. Если при этом матрицу А рассматривать как некоторое отображение пространства Rⁿ в R^k, а матрицы Х и В ассоциировать с вектор-столбцами соответственно и Тогда решение системы (7.1) можно свести к вопросу об установлении векторов которые являются прообразами вектора при отображении Rⁿ в R^k, заданном матрицей А, т.е.

Кроме матричной, систему линейных уравнений можно записать и в векторной форме. Для этого матрицу А связывают с системой из n вектор-столбцов в пространстве R^к.

Тогда система (7.1) примет вид (7.5)

здесь

Исходя из уравнения (7.5) вопрос о решении системы (7.1) можно свести к вопросу об установлении линейной зависимости системы векторов . Так система (7.1) имеет решение, если вектора линейно зависимы. Действительно, из (7.5) следует, что вектор является линейной комбинацией векторов и, следовательно, он принадлежит подпространству, порожденному векторами . Если же вектор не принадлежит подпространству, порожденному векторами , т.е. вектора линейно независимы, то система (7.1) решений не имеет. Другими словами система (7.1) имеет решение, если ранг r^* (A^*) системы векторов не превышает ранга r (A) системы векторов , а это означает, что они должны быть равны. Теперь если систему векторов связать с расширенной матрицей A^*, то вышесказанное можно рассматривать как доказательство следующей теоремы.

Теорема Кронекера – Капелли (у словие совместимости системы линейных уравнений): Система линейных уравнений разрешима (совместна) тогда и только тогда, когда ранг r (A) основной матрицы А равен рангу r^* (A^*) расширенной матрицы A^*: r (A) = r^* (A^*).