 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Система Крамера
|
|
Допустим, что число уравнений в системе (7.1) равно числу неизвестных (k = n) и что вектор-столбцы 
из Rn линейно независимы; в этом случае (7.1) называется системой Крамера.
Поскольку вектор-столбцы линейно независимы, то они составляют базис пространства Rn, следовательно, всякий вектор-столбец 
представляется и притом единственным способом, в форме (7.5). Таким образом, система Крамера всегда имеет решение, и притом единственное.
Для нахождения этого решения запишем систему Крамера в матричной форме (7.4): АХ = В. Основная матрица А системы Крамера – квадратная, порядка п, и ее определитель отличен от нуля: D (A) ¹ 0, так как вектор-столбцы матрицы линейно независимы. Поэтому матрица А имеет обратную матрицу A- 1. Умножим обе части уравнения (7.4) на A- 1слева:
A- 1 AX = A- 1 B.
Поскольку A- 1 A = E и EX = X, то X = A- 1 B или
Перемножая A- 1 на B, получаем
. (7.6)
Откуда 
,
где j = 1, 2, ..., n, а A 1 jв 1 + A 2 jв 2 +....+ Anjвn – определитель матрицы, которая получена из основной A путем замены элементов j -го столбца, т.е. коэффициентов при определяемом неизвестном xj на столбец свободных членов в 1, в 2, ..., вn системы. Таким образом,
.
Теперь вышесказанное сформулируем в виде следующего правила.
Правило Крамера. Если определитель D (A) основной матрицы А системы из n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля (D (A)¹0), то система имеет единственное решение и это решение определяется по формуле:
, j = 1,2, ..., n, (7.7)
где D (Aj) – определитель, полученный из D (A) заменой j -го столбца, столбцом свободных членов системы.
Пример. Решить систему уравнений.
3 x – 3 y + 2 z = 2,
4 x – 5 y + 2 z = 1,
5 x – 6 y + 4 z = 3.
Вычислим определитель основной матрицы А:
.
Так как D (A) ¹ 0, то это система Крамера и, следовательно, она имеет одно решение, которое ищем по формуле: 
Ответ: х 1 = х = 1; х 2 = у = 1; х 3 = z = 1.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 283 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
