При замене базисов

Рассмотрим линейное отображение f n -мерного пространства K над полем P в m -мерное пространство F над полем P и пусть, если в пространстве K задан базис , а в пространстве F базис , то отображение f ассоциировано с матрицей А, представляющей линейное отображение пространства Pⁿ в P^m, Перейдем в этих пространствах к другим базисам, соответственно и , которые связаны с первоначальными базисами матрицами перехода и . Наша задача определить, какой вид примет матрица А в базисах и . Обозначим эту преобразованную матрицу В.

Рассмотрим произвольный вектор из пространства Pⁿ, и его образ из пространства P^m в базисах и . При замене базисов пространства Pⁿ и P^m отображаются каждое само на себя посредством матриц перехода S и T. При этом вектора и будут прообразами векторов соответственно и . Тогда матрица В задается при помощи соотношений и, значит, B = T^{– 1} AS. Это и есть искомая формула для установления взаимосвязи между матрицами А и В, представляющих одно и тоже линейное отображение f пространства К в пространство F, при замене в них базисов, определяемое матрицами перехода S и Т.

Если F = K, причем первоначальные, а также новые базисы в пространствах K и F совпадают, то А и S = Т будут квадратными матрицами одного порядка. Тогда получим В = T^{– 1} АТ; В называется матрицей, преобразованной из А посредством Т; матрицы В и А называются подобными. Если А обратима, то T^{– 1} (А^{– 1}) Т = (T^{– 1} АТ) ^{– 1} = В^{– 1}.

Теперь попытаемся найти в К такой конкретный базис, относительно которого связанная с f квадратная матрица, определяющая отображение Pⁿ в Pⁿ имела бы наиболее простую форму.