 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Ортогональные матрицы перехода
|
|
Если мы все строки равенства (8.1) возведем в квадрат или перемножим между собой, то получим следующую систему равенств:
t 1 a × t 1 g + t 2 a × t 2 g + t 3 a t 3 g = dag, (8.6)
где dag – символ Кронекера, a =1, 2, 3, g =1, 2, 3.
Следовательно, в матрице Т (8.2) сумма квадратов элементов, расположенных в каждом столбце (a = g)равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов двух любых различных столбцов (a ¹ g) равна нулю. Матрицы такого типа называются ортогональными.
Систему равенств (8.6), которая имеет место для элементов ортогональной матрицы Т можно переписать еще и в виде следующего условия Т Т ·T=E или T T = T– 1,где T T– транспонированная, а T– 1 – обратная матрицы к Т.
Затем, если 
есть j -й вектор-столбец в Т с компонентами 
, то соотношение (8.6) означает, что скалярное произведение 
, j = 1, 2, 3, i = 1, 2, 3 и, стало быть, вектор-столбцы 
, j = 1, 2, 3ортогональной матрицы Т образуют ортонормированный базис.
Данное определение ортогональных матриц распространяется не только на матрицы перехода третьего порядка п = 3, но и на матрицы порядка n > 3.
Определение. Квадратная матрица S = (sij ), где i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., n, для которой S T ·S = E (или s 1 i s 1 j + s 2 is 2 j + ......+ snisnj = d ij, где d ij – символ Кронекера), называется ортогональной.
Из этого определения также следует, что для того, чтобы матрица была ортогональной, необходимо и достаточно, чтобы либо ее вектор-столбцы (либо вектор-строки) образовывали ортонормированный базис в Rn.
Определитель D (S) ортогональной матрицы S равен +1 или –1. Действительно, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей, то
D (S·S T) = D (S) · D (S T) = [ D (S)]2 = D (E) = 1и, следовательно, D (S) = ±1. Значения +1 и –1 соответствуют различной ориентации вектор-столбцов, образующих базис. Так, если в качестве вектор-столбцов в S выбрать канонический ортонормированный базис 
,........, 
, получим S = E и D (S) = + 1. Если же мы возьмем ортонормированный базис ,......., 
, то отвечающая ему ортогональная матрица S´ будет иметь определитель D (S´) = –1.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 797 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
