Однородная система линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если правые части этих уравнений равны нулю:

a ₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ +... + a _{1 n} x_n = 0,

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ +... + a _{2 n} x_n = 0,

...................................... (7.8)

a_{k 1} x ₁ + a_{k 2} x ₂ +.... + a_kn x_n = 0.

Однородная система всегда совместна, так как расширенная матрица отличается от основной на столбец, представляющий нуль-вектор. Поскольку система, содержащая нуль-вектор, всегда линейно зависима, то ранг расширенной матрицы совпадает с рангом основной матрицы. Совместность однородной системы очевидна, так как она всегда имеет тривиальное решение х ₁ = х ₂ =.....= х_п = 0. Это решение будет единственным, если однородная система есть система Крамера, т.е. когда k = n и определитель D (A) основной матрицы A отличен от нуля. Другими словами, когда ранг r (A) основной матрицы равен числу n неизвестных системы: r (A) = n. Если же r (A)< n, то однородная система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений и совокупность решений системы образует векторное подпространство. Покажем это. Для этого запишем систему (7.8) в векторной форме в пространстве Rⁿ вектор-строк. В этом случае каждое уравнение системы представляет собой скалярное произведение двух векторов из Rⁿ: и :

(7.9)

Докажем, что если вектора и есть решения системы (7.9), то и также будут решениями этой системы. Действительно, так как скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов и ассоциативно относительно умножения на число, имеем:

Отсюда следует, что и являются также решениями однородной системы. Кроме этого, нейтральный (0,0,....,0) и симметричный элементы также принадлежат пространству решений. Таким образом, совокупность решений однородной системы образует векторное подпространство. Теперь определим размерность подпространства решений системы и построим его базис. Как мы уже сказали, подпространство решений содержит ненулевые вектора, если r (A) < n. Условие r (A) < n всегда выполнено, если число k уравнений системы меньше числа n неизвестных. Тот факт, что ранг основной матрицы A равен r (A), означает, что матрица A содержит минор порядка r, отличный от нуля; все же миноры более высоких порядков равны нулю, в том числе (если он существует) и минор порядка n. Не ограничивая общности, можно считать, что этим минором является главный минор матрицы A порядка r.

.

Это всегда можно добиться, переставляя местами уравнения в системе. Тогда остальные к – r уравненийсистемы являются линейными комбинациями первых r уравнений системы и поэтому, не нарушая равносильности системы, эти уравнения из системы можно исключить. Оставшиеся же r уравнений системы запишем в следующем виде

(7.10)

Заметим, что если неизвестным x_{r+ 1}, ..., х_n в системе (7.10) придать какие либо числовые значения, то получим систему Крамера, так как и, следовательно, остальные неизвестные х ₁, х ₂,..., х_r можно определить однозначно по правилу Крамера (7.7). Определим неизвестные х ₁, х ₂,..., х_r придавая для неизвестных х_{r+ 1}, х_{r+ 2},..., х_n последовательно следующие значения (1,0,...,0), (0,1,0,...,0),..., (0,0,..., 1). Такой выбор обусловлен тем, что каждый набор из n – r чисел есть вектор канонического базиса пространства R^n-r. Положим, что для каждого указанного набора значений х_{r+ 1}, х_{r+ 2},..., х_n для х ₁, х ₂,..., х_r получены соответственно следующие n – r наборов из r чисел ... Ясно, что векторы

(7.11)

являются решениями системы (7.10). Число координат у векторов равно n и они принадлежат пространству Rⁿ.

Докажем, что векторы линейно независимы. Действительно, если равенство записать в скалярной форме

,

используя компоненты (7.11), то оно выполняется лишь при условии l ₁= l ₂ =.....= l_n-r = 0. Это непосредственно вытекает из уравнений, для которых j ³ r + 1. Нетрудно показать также то, что любое решение однородной системы (7.10) является линейной комбинацией векторов с коэффициентами т.е.

, (7.12)

где могут принимать любые значения из R. Для доказательства этого при решении системы (7.10) для неизвестных x_{r+ 1},..., x_n полагаем значения (b_{r+ 1}, 0,..., 0),(0, b_{r+ 2}, 0,…,0),.....,(0,0,..., b_n).

Таким образом, векторы с компонентами (7.11) образуют базис подпространства решений однородной системы (7.8) размерности n – r. Выражение (7.12), определяющее все множество решений подпространства, называется общими решениями однородной системы. Совокупность линейно независимых решений системы называется фундаментальной системой решений. Переменные x_{r+ 1},..., x_n называются свободными, x ₁,..., x_r – базисными.

Замечание. Построение фундаментальных решений, проведенное нами выше, не является обязательным и при решении конкретных задач выбор значений x_{r+ 1},..., x_n может быть другим.

Пример. Пусть дана однородная система уравнений

x ₁ + 2 x ₂ – 5x₃ + 3 x ₄ = 0,

2 x ₁ + 5 x ₂ – 6 x ₃ – x ₄ = 0,

5 x ₁ + 12 x ₂ – 17 x ₃ + x ₄ = 0,

в которой число неизвестных n = 4, а число уравнений к = 3. Поскольку к < n то r (A) < n и, следовательно, система имеет бесчисленное множество решений. Для построения фундаментальных и общего решений системы определим ранг r (A) основной матрицы

Рассмотрим главные миноры: Для матрицы А существует еще один минор третьего порядка но он также равен нулю. Таким образом, все миноры третьего порядка матрицы А, равны нулю, а среди миноров второго порядка есть минор отличный от нуля. Следовательно, ранг r (A) матрицы А равен 2. Это означает также, что третье уравнение системы есть линейная комбинация первых двух и его из системы можно исключить. Действительно, третье уравнение получается, если второе уравнение умножить на 2 и сложить с первым. После исключения из системы третьего уравнения, оставшиеся два уравнения, перепишем в следующем виде

х ₁ + 2 х ₂ = 5 х ₃ – 3 х ₄,

2 х ₁ + 5 х ₂ = 6 х ₃ + х ₄.

Полагая х ₃ = 1, а х ₄ = 0, получим фундаментальное решение системы

х ₁ + 2 х ₂ = 5,

2 х ₁ + 5 х ₂ = 6 Þ х ₁ = 13, х ₂ = – 4, = (13, – 4, 1, 0).

Полагая х ₃ = 0, а х ₄ = 1, определим

х ₁ + 2 х ₂ = –3,

2 х ₁ + 5 х ₂ = 1 Þ х ₁ = –17, х ₂ = 7, = (–17, 7, 0, 1).

Общее решение системы

где любые числа из R.

Итак, решения системы составляют векторное подпространство размерности n – r = 4 – 2 = 2.