Квадратной матрицы

Легко показать, что равенство В = T^{– 1} АТ влечет равенство определителей: D (B) = D (A). Действительно, из правила умножения определителей имеем

D (B) = D (T^{– 1})· D (A)· D (T) = D (A) D (E) = D (A)·1 = D (A).

С другой стороны, матрица, преобразованная из единичной, сама является единичной: T^{– 1} ЕТ = Е; следовательно, для любого r Î R, имеем

В – rЕ = T^{– 1}(А – rЕ) Т,

и значит, определитель D (А – rЕ) зависит только от линейного отображения f и не зависит от выбора конкретного базиса в К.

Если ,

то и

D (A – rE)= (- 1) ⁿr ⁿ + q_{n -1} r ^{n -1} + q_{n- 2} r ^{n- 2} +... + q ₁ r + D (A), есть многочлен от r степени, в точности равной n. Записывать, чему равны коэффициенты q_i, нам нет необходимости.

Определение 1. Многочлен D (A – rE) называется характеристическим многочленом отображения f.

Его коэффициенты зависят только от линейного отображения f и не зависят от выбора базиса в К. То же самое будет относиться к нулям этого многочлена и к их кратности.

Определение 2 .Собственными значениями или характеристическими числами отображения f называются нули характеристического многочлена D (A – rE), т.е. корни уравнения D (A – rE) = 0 – это уравнение называется характеристическим.

Если Р есть поле С комплексных чисел, то многочлен степени n имеет точно n нулей, принадлежащих С; если считать каждый нуль столько раз, какова его кратность (основная теорема алгебры). Поэтому отныне мы будем предполагать, что Р есть поле С.

Пусть r ₁ есть собственное значение, а значит такое действительное или комплексное число, что D (A – r ₁ E) = 0. Тогда матрица A – r ₁ E необратима, и существует, по крайней мере, один такой ненулевой вектор , что . Обратно, если существует такой ненулевой вектор , что , то рассуждением, обратным к приведенному, убеждаемся, что r ₁ есть собственное значение.

Определение 3. Вектор называется собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению r ₁, если , с

Если есть вектор из К, отвечающий вектору , то , что показывает, что и r ₁ зависят только от f.

Вектор называется собственным вектором линейного отображения f.

Перечислим некоторые свойства собственных векторов и собственных значений матрицы А, которые являются также и свойствами собственных векторов и собственных значений линейного отображения f.

1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное число.

2. Если – собственный вектор матрицы А с собственным числом r, то любой вектор l коллинеарный вектору , также является собственным вектором матрицы А с тем же самым числом r.

3. Если и собственные векторы матрицы А с одним и тем же собственным числом r, то их сумма + также является собственным вектором матрицы А с тем же самым числом r.

Из свойств 2 и 3 следует, что каждому собственному числу соответствует бесчисленное множество (коллинеарных) собственных векторов. Это множество вместе с нулевым вектором, который всегда является собственным вектором, образует подпространство пространства Сⁿ, если речь идет о собственных векторах матрицы и пространства К, если речь идет о собственных векторах линейного отображения f.

4. Если собственные векторы (либо ) принадлежат различным собственным значениям, то они линейно независимы.

Последний пункт позволяет решить вопрос о приведении квадратной матрицы к более простой форме.