Неоднородная система линейных уравнений

Если в системе линейных уравнений (7.1) хотя бы один из свободных членов в_i отличен от нуля, то такая система называется неоднородной.

Пусть задана неоднородная система линейных уравнений, которую в векторной форме можно представить в виде

, i = 1,2,..., к,(7.13)

Рассмотрим соответствующую однородную систему

i = 1,2,. .., к. (7.14)

Пусть вектор является решением неоднородной системы (7.13), а вектор является решением однородной системы (7.14). Тогда, легко видеть, что вектор также является решением неоднородной системы (7.13). Действительно

Теперь, используя формулу (7.12) общего решения однородного уравнения, имеем

а потому

(7.15)

где любые числа из R, а – фундаментальные решения однородной системы.

Таким образом, решение неоднородной системы есть совокупность ее частного решения и общего решения соответствующей однородной системы.

Решение (7.15) называется общим решением неоднородной системы линейных уравнений. Из (7.15) следует, что совместная неоднородная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг r (A) основной матрицы А совпадает с числом n неизвестных системы (система Крамера), если же r (A) < n, то система имеет бесчисленное множество решений и эта совокупность решений эквивалентна подпространству решений соответствующей однородной системы уравнений размерности n – r.

Примеры.

1. Пусть дана неоднородная система уравнений, в которой число уравнений к = 3, а число неизвестных n = 4.

х ₁ – х ₂ + х ₃ –2 х ₄ = 1,

х ₁ – х ₂ + 2 х ₃ – х ₄ = 2,

5 х ₁ – 5 х ₂ + 8 х ₃ – 7 х ₄ = 3.

Определим ранги основной матрицы А и расширенной А^* данной системы. Поскольку А и А^* не нулевые матрицы и к = 3< n, поэтому 1 £ r (A), r^* (А^*) £ 3. Рассмотрим миноры второго порядка матриц А и А^*:

Таким образом, среди миноров второго порядка матриц А и А^* есть минор отличный от нуля, поэтому 2£ r (A), r^* (A^*) £3. Теперь рассмотрим миноры третьего порядка

, так как первый и второй столбец пропорциональны. Аналогично и для минора .

.

И так все миноры третьего порядка основной матрицы А равны нулю, следовательно, r (A) = 2. Для расширенной матрицы А^* еще имеются миноры третьего порядка

Следовательно, среди миноров третьего порядка расширенной матрицы А^* есть минор отличный от нуля, поэтому r^* (A^*) = 3. Это означает, что r (A) ¹ r^* (A^*) и тогда, на основании теоремы Корнекера – Капелли, делаем вывод, что данная система несовместна.

2. Решить систему уравнений

3 х ₁ + 2 х ₂ + х ₃ + х ₄ = 1,

3 х ₁ + 2 х ₂ – х ₃ – 2 х ₄ = 2.

Для данной системы и поэтому 1 £ r (A), r^* (A^*) £ 2. Рассмотрим для матриц A и A^* миноры второго порядка

Таким образом, r (A) = r^* (A^*) = 2, и, следовательно, система совместна. В качестве базовых выберем любые две переменные, для которых минор второго порядка, составленный из коэффициентов у этих переменных не равен нулю. Такими переменными могут быть, например,

х ₃ и х ₄, так как Тогда имеем

х ₃ + х ₄ = 1 – 3 х ₁ – 2 х ₂,

– х ₃ – 2 х ₄ = 2 – 3 х ₁ – 2 х ₂.

Определим частное решение неоднородной системы. Для этого положим х ₁ = х ₂ = 0.

х ₃ + х ₄ = 1,

– х ₃ – 2 х ₄ = 2.

Решение этой системы: х ₃ = 4, х ₄ = – 3, следовательно, = (0,0,4, –3).

Теперь определим общее решение соответствующего однородного уравнения

х ₃ + х ₄ = – 3 х ₁ – 2 х ₂,

– х ₃ – 2 х ₄ = – 3 х ₁ – 2 х ₂.

Положим: х ₁ = 1, х ₂ = 0

х ₃ + х ₄ = –3,

– х ₃ – 2 х ₄ = –3.

Решение этой системы х ₃ = –9, х ₄ = 6.

Таким образом

Теперь положим х ₁ = 0, х ₂ = 1

х ₃ + х ₄ = –2,

– х ₃ – 2 х ₄ = –2.

Решение: х ₃ = – 6, х ₄ = 4, и тогда

После того как определены частное решение , неоднородного уравнения и фундаментальные решения и соответствующего однородного уравнения, записываем общее решение неоднородного уравнения.

где любые числа из R.