Метод Гаусса. НАД системой (7. 1) линейных уравнений можно производить следующие операции, которые не нарушают равносильности системы уравнений

Над системой (7.1) линейных уравнений можно производить следующие операции, которые не нарушают равносильности системы уравнений:

а) прибавлять к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на некоторое число;

б) переставлять уравнения в системе;

в) исключать из системы уравнения 0 х ₁ + 0 х ₂ +... + 0 х_n = 0. Поскольку это равенство является тождеством, и ему удовлетворяют любые значения х ₁, х ₂,..., х_n.

С помощью этих операций любую систему линейных уравнений можно привести к треугольному

с ₁₁ х ₁ + с ₁₂ х ₂ +... + с _{1 r}х_n +... + с _{1 n}х_n = d ₁,

с ₂₂ х ₂ +... + с _{2 r}х_r +... + с _{2 n}x_n = d ₂, (7.2)

.................................

с _{r r} х_r +... + с_rnх_n = d_r,

..................

+ с_nnx_n = d_n

или трапецеидальному виду

с ₁₁ х ₁ + с ₁₂ х ₂ +... + с _{1 r}х_n +... + с _{1 n}х_n = d ₁,

с ₂₂ х ₂ +... + с _{2 r}х_r +... + с _{2 n}x_n = d ₂, (7.3)

...........................

с _{r r} х_r +... + с_rnх_n = d_r.

При приведении системы к треугольному или трапецеидальному виду могут возникать уравнения 0 х_i + 0 х_{i +1} +... + 0 х_n = d_i, i = 1,2,..., n. Если d_i = 0, то эти уравнения являются тождествами и из системы исключаются, если же d_i ¹ 0, то этому уравнению не удовлетворяют никакие значения х_j. В этом случае система не имеет решений, она несовместна.

Совместная система уравнений, приведенная к треугольному виду (7.2) имеет единственное решение и, следовательно, является определенной. Если же совместная система приведена к трапецеидальному виду (7.3), причем r < n, то, придавая x_{r +1}, x_{r +2},..., x_n произвольные значения, мы можем из системы (7.3) определить х ₁, х ₂,..., х_r и построить решение системы. Однако, учитывая, что x_{r +1}, x_{r +2},..., x_n могут принимать любые значения из R, мы получаем неопределенную систему, и число ее решений бесконечное множество. Неизвестные, которые принимают произвольные значения, называются свободными, вспомогательными, независимыми и их количество равно n – r.

Примеры. 1. Решить методом Гаусса систему

4 х ₁ + 2 х ₂ + х ₃ = 4,

х ₁ + 3 х ₂ + 2 х ₃ = 2,

2 х ₁ – х ₂ + х ₃ = 5.

Исключим из 2-го и 3-го уравнений данной системы неизвестное х ₁. Для этого второе уравнение умножим на –4, а третье на –2 и сложим с первым:

4 х ₁ + 2 х ₂ + х ₃ = 4,

–10 х ₂ –7 х ₃ = –4,

4 х ₂ – х ₃ = –6.

Теперь умножим третье уравнение полученной системы на 5/2 и прибавим к нему второе уравнение:

4 х ₁ + 2 х ₂ + х ₃ = 4,

–10 х ₂ – 7 х ₃ = –4,

х ₃ = –19.

Система приводится к треугольному виду. Из последнего уравнения системы находим х ₃ = 2, из второго х ₂ = –1, из первого х ₁ = 1. Система имеет единственное решение (1, –1, 2).

2. Дана система

2 х ₁ – х ₂ + х ₄ = 4,

4 х ₁ – 2 х ₂ + х ₃ + х ₄ = 7,

6х₁ – 3x₂ +2x₃ – x₄ = 8,

8 x ₁ – 4 х ₂ +3 х ₃ – х ₄ = 11.

Замечание. При решении системы методом Гаусса неизвестные в уравнениях системы можно исключать не только с начала, но и с конца.

Именно таким образом мы и поступим при решении данной системы. Для этого умножим последнее уравнение последовательно на 1, 1, –1 и сложим с тремя первыми; получим равносильную систему

8 х ₁ – 4 х ₂ + 3 х ₃ – х ₄ = 11,

10 х ₁ – 5 х ₂ + 3 х ₃ = 15,

12 х ₁ – 6 х ₂ + 4 х ₃ = 18,

–2 х ₁ + х ₂ – х ₃ = –3.

Теперь умножим последнее уравнение последовательно на 3 и на 4 и прибавим к двум предыдущим; получим равносильную систему:

8 х ₁ – 4 х ₂ + 3 х ₃ – х ₄ = 11,

–2 х ₁ + х ₂ – х ₃ = –3,

4 х ₁ – 2 х ₂ = 6,

4 х ₁ – 2 х ₂ = 6.

Далее, умножив предпоследнее уравнение на –1 и сложив его с последним, имеем:

8 х ₁ – 4 х ₂ + 3 х ₃ – х ₄ = 11,

–2 х ₁ + х ₂ – х ₃ = –3,

4 х ₁ – 2 х ₂ = 6,

0 х ₁ – 0 х ₂ = 0.

Последнее уравнение есть тождество и его из системы можно исключить. Окончательно

8 х ₁ – 4 х ₂ + 3 х ₃ – х ₄ = 11,

–2 х ₁ + х ₂ – х ₃ = –3,

2 х ₁ – х ₂ = 3.

Таким образом, система приводится к трапецеидальному виду. Полагая х ₁ вспомогательным неизвестным и придавая ему любые значения, например, b, находим решение системы (b, 2 b –3, 0, 1). Так как b может принимать любые значения из R, система не определена и имеет бесконечно много решений.