ГЛАВА 7. Линейной системой к уравнений с n неизвестными х1, х2,

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ. СОВМЕСТНЫЕ И НЕСОВМЕСТНЫЕ СИСТЕМЫ

Линейной системой к уравнений с n неизвестными х ₁, х ₂,..., х_n, называется совокупность равенств

а ₁₁ х ₁ + а ₁₂ х ₂ +... +а _{1 n}х_n = в ₁,

а ₂₁ х ₁ + а ₂₂ х ₂ +... +а _{2 n}х_n = в ₂, (7.1)

........................

а_{к 1} х ₁ + а_{к 2} х ₂ +... +а_кnх_n = в_к.

Коэффициенты а_ij и свободные члены в_i, i = 1,2,..., к, j = 1,2,..., n – известны и принадлежат полю R действительных чисел или полю С комплексных чисел. В дальнейшем под этим полем мы будем понимать поле R действительных чисел.

Решить систему (7.1) означает определить упорядоченную совокупность чисел λ1, λ2,..., λn из R (или С) такую, что при замене х1,х2,....,хn соответственно на λ1, λ2,..., λn, каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Упорядоченная совокупность чисел λ1, λ2,..., λn, называется решением системы (7.1).

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и, несовместной, если не имеет решений.

Если две совместные системы имеют одинаковые решения, то такие системы называются равносильными (или эквивалентными).

Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если этих решений множество.

Ответы на эти вопросы дает метод Гаусса.