Построение обратной матрицы

Мы уже видели, что для того, чтобы матрица А была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была квадратной и ее ранг r (A) должен быть равен порядку n матрицы А. Теперь, используя определитель матрицы, мы можем это утверждение сформулировать следующим образом. Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу А^{- 1}, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель D (A) ¹0. Элементы обратной матрицы А^{- 1} определяются по формуле:

Здесь, D (A) – определитель матрицы А = (а_ij), где i = 1,2,..., n, j = 1,2,..., n. А_ij – алгебраические дополнения элемента а_ij матрицы А. Заметим, что А_ij стоят не на месте элемента а_ij, а на месте элемента а_ji. Следовательно, матрица А^{- 1} является транспонированной к матрице , элементы которой А_ij стоят на месте элементов а_ij алгебраическими дополнениями которых они являются, тогда

Докажем, что построенная матрица А^{- 1} является обратной к А. Для этого необходимо показать, что АА^{- 1} = Е.

.

Элементы транспонированной матрицы Из теоремы о чужих дополнениях следует, что если i ¹ j, то

Получили диагональную матрицу с равными элементами по главной диагонали, а это скалярная матрица, поэтому

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы Покажем сначала, что данная матрица имеет обратную. Так как

D (A) ¹ 0, то данная матрица имеет обратную. Вычислим алгебраические дополнения:

Таким образом,

Осуществим проверку