Ранг линейного отображения

Определение. Рангом r линейного отображения f: K ® L называется размерность векторного пространства f (K). Если K имеет размерность n, то, поскольку размерность пространства f (K) не может превосходить n, находим, что r ≤ n.

Если есть базис пространства К, то и Таким образом, векторное пространство f (K) порождается векторами и, следовательно, r есть максимальное число линейно независимых векторов т.е. ранг данной системы векторов.

Если все векторы линейно независимы и составляют базис f (K), а f (K) исчерпывает все пространство L (т.е. f (K) = L), то отображение f будет взаимно однозначным. Следовательно, для того, чтобы линейное отображение f было взаимно однозначным, необходимо и достаточно, чтобы dimK = dimL = n, и равнялось рангу r отображения. Таким образом, взаимно однозначные отображения возможны только между пространствами одинаковой размерности.

Заметим, что если линейное отображение f – взаимно однозначно, то оно будет изоморфизмом.