Пространствами к и р n над полем р

Пусть К – векторное пространство конечной размерности n над полем Р. И пусть – базис этого пространства. Рассмотрим векторное пространство ; являющееся произведением n векторных пространств Р над полем Р. Поставим в соответствие вектору из К вектор из Рⁿ. Это отображение есть взаимно однозначное отображение, так как разложение вектора по базису, возможно только единственным способом. Пусть далее причем . Поставим в соответствие вектору , вектор из Рⁿ. Так как

,

то ясно, что вектору соответствует вектор из Рⁿ, следовательно

Далее, так как , то вектор соответствует вектору из Рⁿ,следовательно, f () = Таким образом (см. книга 2, гл.1, §3), можно сделать следующее заключение.

Векторное пространство К конечной размерности n над полем Р изоморфно Рⁿ. Изоморфизм между К и Рⁿ зависит от выбранного в К базиса, и изоморфными могут быть пространства только одинаковой размерности.

Образами векторов базиса в Рⁿ будут или , где , если i ¹ j, и , если i = j; величины называются символами Кронекера. Действительно, так как

, то , где i = 1,2,... n.

Из предыдущего также вытекает, что для того, чтобы вектора из К были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладали вектора из Рⁿ, соответствующие им при вышеуказанном изоморфизме. В частности покажем, что вектора , есть базис пространства Рⁿ, называемый каноническим.

Доказательство.

1. Докажем, что векторы линейно независимы. Для этого надо доказать, что векторное уравнение имеет только тривиальное решение . Данное уравнение равносильно системе скалярных уравнений l _1××1 = 0, l ₂×1 = 0,..., l_n ×1 = 0,которое имеет единственное решение l ₁ = l ₂ =...= l_n = 0.

2. Легко видеть, что любой вектор из Pⁿ есть линейная комбинация векторов с коэффициентами

: . Следовательно, система является базисом Pⁿ.

Таким образом, значение теоремы об изоморфизме состоит в следующем. Векторные пространства могут состоять из чего угодно – столбцов, многочленов, физических величин: скорости, силы, напряженности электрического поля и др. – природа их элементов роли не играет, когда изучаются только их свойства, связанные с операциями сложения и умножения на число. Все эти свойства у изоморфных пространств совершенно одинаковы. С алгебраической точки зрения изоморфные пространства тождественны. Если мы условимся не различать между собой изоморфные пространства, то в силу теоремы об изоморфизме для каждой размерности найдется только одно векторное пространство и, этим пространством может служить пространство Pⁿ.