 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Координатная запись линейных отображений
|
|
Рассмотрим два векторных пространства K и L различных размерностей над одним и тем же полем P. Пусть в пространстве K размерности m выбран базис 
, а в пространстве L размерности h – базис 
. Пусть далее f есть линейное отображение K в L; оно переводит 
Î K в 
Î L. Разложив векторы 
и 
по базисам соответствующих пространств, получим
, 
и 
или с учетом свойства линейного отображения, имеем
Так как элементы 
, то при помощи базиса их можно представить в виде
или 
Следовательно,
или покоординатно, с учетом, что 
b 1 =a 11 l 1 + a 12 l 2 +... + a 1m lm,
b 2 =a 21 l 1 + a 22 l 2 +... + a 2 m lm,(4.9)
............................................
b h =a h 1 l 1 + a h 2 l 2 +... + a hm lm.
Следует отметить, что данная система содержит элементы lj, bi и aij, принадлежащие только полю Р. Это позволяет рассматривать указанную систему и как характеристику линейного отображения пространства Pm в Ph. Элементами пространства Pm являются вектора 
, а пространства Ph – вектора 
Таким образом, любому линейному отображению f векторного пространства К в L можно сопоставить линейное отображение пространства Pm в Ph, которое будет определяться одинаковыми выражениями, характеризующих отображение.
Полученная система выражений в полной мере характеризует линейное отображение f векторного пространства К в L. В свою очередь эта система задана, если известна прямоугольная таблица коэффициентов aij, записываемая следующим образом;
a 11 a 12... a 1 m i = 1,2,..., h,
А = a 21 a 22... a 2m = (aij),
................. . j = 1,2,..., m
a h 1 a h 2... a hm
Такая прямоугольная таблица чисел называется матрицей, а числа aij называются ее элементами.
Множество элементов, имеющих одинаковые первые индексы, называются строкой, а множество элементов, имеющих одинаковые вторые индексы, называются столбцом. Так, aij есть элемент i -й строки и j -го столбца.
С помощью матрицы А систему выражений (4.9), характеризующих линейное отображение f векторного пространства К в L (или Pm в Ph ) записывают в следующем виде 
где
Матрицу можно рассматривать и независимо от пространств К и L. Ее можно ассоциировать с заданием системы векторов в пространстве вектор-строк, либо в пространстве вектор-столбцов. Действительно, пусть элементы i- й строки матрицы (ai 1, ai 2,... aim) представляют собой компоненты вектор-строки 
в пространстве Pm, тогда
a 11 a 12... a 1 m 
А = a 21 a 22... a 2 m = 
(4.10)
.................:
ah 1 ah 2... ahm 
и, следовательно, задание матрицы А означает задание системы из h вектор-строк 
в пространстве Рm. Аналогично,
aij a 11 a 12... a 1 m
= a 2 j Î R h, тогда А = a 21 a 22... a 2 m = (
) (4.11)
: .................
ahj ah 1 ah 2... ahm
Следовательно, задание матрицы А означает задание системы из m вектор-столбцов в пространстве Ph.
Элементами матрицы в этих случаях являются компоненты векторов.
Если матрицу А в выражении (4.9) рассматривать как заданную систему вектор-столбцов в пространстве Ph, то формулы (4.9) можно записать в следующей эквивалентной форме:
,
b 1 a 1 j
здесь 
= b 2 Î Рh, = a 2 j Î Рh, j = 1,2,..., m.
::
bh ahj
Это выражение означает, что вектор 
является линейной комбинацией системы вектор-столбцов 
из P h , заданных матрицей А с коэффициентами l 1,..., lm. Из выше изложенного ясно, что матрицу можно рассматривать отдельно как самостоятельную величину, и на множестве матриц, как и на любом множестве, вводить свои внутренние и внешние законы композиции.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 500 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
