Основные свойства базиса

Пусть есть любой вектор из К размерности n; так как он линейно зависит от базиса , то в Р найдутся такие числа l, l ₁, ..., l_n, не все равные нулю, что . При этом l ¹ 0, ибо в противном случае были бы линейно зависимы. Так как Р есть поле, то существует . После умножения на получим: , где , i = 1,2,..., n.

Таким образом, векторное пространство К порождено базисом , а данное выражение называется разложением вектора по базису . Числа называются компонентами (координатами) вектора в базисе .

Теорема. (Основное свойство базиса) Представление любого вектора из пространства К через его базис единственно, или другими словами, в заданном базисе компоненты вектора определяются однозначно.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна и вектор в базисе имеет различные компоненты и . Тогда вычитая эти равенства, получим . Поскольку вектора линейно независимы, то и отсюда .

Замечание. Один и тот же вектор в различных базисах имеет разные компоненты.

В качестве наглядного примера рассмотрим пространство свободных векторов.