Базис и размерность пространства свободных векторов

Выберем систему, состоящую из трех упорядоченных свободных векторов . Случай, когда эта система векторов линейно зависима, нами уже рассмотрен в предыдущем параграфе п.4.5. Теперь рассмотрим ситуацию, когда система из трех векторов линейно независима, т.е. это упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Теорема. Присоединение любого свободного вектора к системе из трех некомпланарных свободных векторов делает ее линейно зависимой, или другими словами: любой свободный вектор является линейной комбинацией трех упорядоченных некомпланарных векторов и это представление единственно. Тем самым мы установим, что совокупность трех упорядоченных некомпланарных векторов является базисом пространства свободных векторов и его размерность равна трем.

Доказательство. Отложим все векторы , от одной и той же точки А: . Пусть F – проекция точки В ₄ на плоскость АВ ₁ В ₂параллельно прямой АВ ₃,а Q – проекция точки F на прямую АВ ₁ параллельно прямой АВ ₂. Тогда Векторы соответственно коллинеарны векторам . Полагая получим и, следовательно, , т.е. векторы , линейно зависимы.

Таким образом, базис пространства свободных векторов состоит из трех упорядоченных некомпланарных векторов. Если в качестве базисных векторов выбрать три упорядоченных вектора, которые изображаются направленными отрезками, параллельными соответственно трем осям прямоугольной декартовой системы координат x, y, z и модуль каждого вектора равен масштабному отрезку этих осей, то такой базис называется ортонормированным базисом. Первые два базисных вектора, как и на плоскости, обозначают , а третий базисный вектор, параллельный оси Oz, обозначается , и называются эти вектора ортами. Координаты этих векторов будут: . Такой выбор базисных векторов обусловлен тем, что в разложении любого вектора по ортонормированному базису , коэффициентами разложения являются координаты x, y, z вектора : = .

Рассмотрим выражение скалярного произведения двух векторов и , разложенных по ортонормированному базису, т.е. и . Тогда

=

. Но так как – попарно перпендикулярные (ортогональные) вектора и модуль их равен единице, то

, значит = x ₁ x ₂ + y ₁ y ₂ + z ₁ z ₂.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат только в том случае, если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе.