![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
ПЕРЕМЕННОГО; ОТОБРАЖЕНИЯ R В Rn
Вектор-функции одного действительного переменного ставят в соответствие действительному числу элемент векторного пространства. Пусть этим пространством будет векторное пространство Rn над полем R.
Определение. Пусть P – некоторое числовое множество из R и пусть каждому числу t Î R поставлен в соответствие элемент (вектор) из Rn. В этом случае говорят, что определена функция действительного переменного t Î R с векторными значениями в Rn или, короче, вектор-функция от t.
Вектор-функцию обозначают через (либо жирной строчной латинской буквой), а ее значение для t – через
;
есть элемент векторного пространства Rn. Выражение «вектор-функция от t Î R со значениями в Rn» имеет тот же смысл, что и следующие выражения: вектор-функция, определенная на Р, или отображение Р в Rn.
Обозначим через элементы канонического базиса пространства Rn. Если
– вектор-функция, определенная на Р и принимающая значения в Rn, то
есть элемент из Rn и, значит, представляет собой множество n действительных чисел, значение которых зависит от t и которые мы обозначим через
; это будут координаты, или компоненты вектора
по каноническому базису. Таким образом,
(
). Следовательно, для любого t Î R определены n числовых функций j 1, j 2,..., jn одного действительного переменного и, стало быть,
является упорядоченным множеством n числовых функций j 1, j 2,..., jn одного действительного переменного, которые определены на множестве Р. Функции ji называются координатными функциями.
Допустим теперь, что для – отображение множества Р из R в Rn – существует обратное отображение
; это означает, что для любого вектора
, являющегося значением функции
, множество тех чисел t Î R, для которых
, сводится к одному числу. Тогда
; будет числовой функцией n действительных переменных (книга 1, гл.3, §3).
Отметим, что комплексные функции одного действительного переменного рассмотренные нами в книге 2, гл.2 §6, п.6.1, могут быть представлены как векторные функции одного действительного переменного, или как отображение R в R 2, поскольку С, как векторное пространство отождествляется с R 2.
В заключение рассмотрим вектор-функцию одного действительного переменного t, значением которой есть радиус-вектор точки М в геометрическом пространстве. Как было уже сказано (гл.4, §3, п.3.3)
– это вектор, начало которого совпадает с началом координат О, а концом является некоторая точка М геометрического пространства. Координаты вектора
в ортонормированном базисе
и координаты точки М в декартовой прямоугольной системе координат совпадают, т.е., если М (x, y, z), то
. Пусть координаты вектора
, а, следовательно, и точки М, суть функции некоторого параметра t, с областью изменения
Тогда представляет собой вектор-функцию одного действительного переменного t или отображение Р в R 3. При изменении t изменяются x, y, z, и точка М – конец вектора
– опишет в пространстве некоторую линию, которую называют годографом вектора
=
(t), и которую можно рассматривать как график вектор-функции
(t).
Таким образом, вектор функция одного действительного переменного со значениями в R 3 графически изображается линией в геометрическом пространстве.
§8. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Определение 1. Пусть имеются два векторных пространства K и L над одним и тем же полем Р. Линейным отображением пространства К в L называется отображение f: K ® L, обладающее следующими свойствами:
Образы
Следует подчеркнуть, что сложение в правой и левой частях первой из формул обозначают две, вообще говоря, различные операции: сложение в пространстве К и в пространстве L. Аналогичное замечание относится и ко второй формуле.
Определение 2. Если L = P, то значение отображения есть число из P; в этом случае говорят, что f есть линейная форма.
Так, ортогональная проекция свободного вектора на плоскость есть линейное отображение пространства R 3 в R 2.
Следствие из определения 1. Рассмотрим множество f (K), т.е. множество элементов из L, которые служат при отображении f образами, по крайней мере, одного элемента . f (K) есть векторное пространство, являющееся векторным подпространством пространства L и размерность пространства f (K) не превосходит размерности К. Действительно если
линейно зависимы в К, то в Р существуют такие
, не все равные нулю, что
, но тогда
,
и так элементы тоже линейно зависимы. Обратное, вообще говоря, неверно. Здесь учтено, что
. Это следует из линейности отображения:
и, значит,
Необходимо однако отметить, что
в
и
в правой части равенства отличаются, так как это нейтральные элементы, принадлежащие разным множествам.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 336 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!