Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Вектор–функции одного действительного



ПЕРЕМЕННОГО; ОТОБРАЖЕНИЯ R В Rn

Вектор-функции одного действительного переменного ставят в соответствие действительному числу элемент векторного пространства. Пусть этим пространством будет векторное пространство Rn над полем R.

Определение. Пусть P – некоторое числовое множество из R и пусть каждому числу t Î R поставлен в соответствие элемент (вектор) из Rn. В этом случае говорят, что определена функция действительного переменного t Î R с векторными значениями в Rn или, короче, вектор-функция от t.

Вектор-функцию обозначают через (либо жирной строчной латинской буквой), а ее значение для t – через ; есть элемент векторного пространства Rn. Выражение «вектор-функция от t Î R со значениями в Rn» имеет тот же смысл, что и следующие выражения: вектор-функция, определенная на Р, или отображение Р в Rn.

Обозначим через элементы канонического базиса пространства Rn. Если – вектор-функция, определенная на Р и принимающая значения в Rn, то есть элемент из Rn и, значит, представляет собой множество n действительных чисел, значение которых зависит от t и которые мы обозначим через ; это будут координаты, или компоненты вектора по каноническому базису. Таким образом,

(). Следовательно, для любого t Î R определены n числовых функций j 1, j 2,..., jn одного действительного переменного и, стало быть, является упорядоченным множеством n числовых функций j 1, j 2,..., jn одного действительного переменного, которые определены на множестве Р. Функции ji называются координатными функциями.

Допустим теперь, что для – отображение множества Р из R в Rn – существует обратное отображение ; это означает, что для любого вектора , являющегося значением функции , множество тех чисел t Î R, для которых , сводится к одному числу. Тогда ; будет числовой функцией n действительных переменных (книга 1, гл.3, §3).

Отметим, что комплексные функции одного действительного переменного рассмотренные нами в книге 2, гл.2 §6, п.6.1, могут быть представлены как векторные функции одного действительного переменного, или как отображение R в R 2, поскольку С, как векторное пространство отождествляется с R 2.

В заключение рассмотрим вектор-функцию одного действительного переменного t, значением которой есть радиус-вектор точки М в геометрическом пространстве. Как было уже сказано (гл.4, §3, п.3.3) – это вектор, начало которого совпадает с началом координат О, а концом является некоторая точка М геометрического пространства. Координаты вектора в ортонормированном базисе и координаты точки М в декартовой прямоугольной системе координат совпадают, т.е., если М (x, y, z), то . Пусть координаты вектора , а, следовательно, и точки М, суть функции некоторого параметра t, с областью изменения

Тогда представляет собой вектор-функцию одного действительного переменного t или отображение Р в R 3. При изменении t изменяются x, y, z, и точка М – конец вектора – опишет в пространстве некоторую линию, которую называют годографом вектора = (t), и которую можно рассматривать как график вектор-функции (t).

Таким образом, вектор функция одного действительного переменного со значениями в R 3 графически изображается линией в геометрическом пространстве.

§8. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Определение 1. Пусть имеются два векторных пространства K и L над одним и тем же полем Р. Линейным отображением пространства К в L называется отображение f: K ® L, обладающее следующими свойствами:

Образы

Следует подчеркнуть, что сложение в правой и левой частях первой из формул обозначают две, вообще говоря, различные операции: сложение в пространстве К и в пространстве L. Аналогичное замечание относится и ко второй формуле.

Определение 2. Если L = P, то значение отображения есть число из P; в этом случае говорят, что f есть линейная форма.

Так, ортогональная проекция свободного вектора на плоскость есть линейное отображение пространства R 3 в R 2.

Следствие из определения 1. Рассмотрим множество f (K), т.е. множество элементов из L, которые служат при отображении f образами, по крайней мере, одного элемента . f (K) есть векторное пространство, являющееся векторным подпространством пространства L и размерность пространства f (K) не превосходит размерности К. Действительно если линейно зависимы в К, то в Р существуют такие , не все равные нулю, что , но тогда ,

и так элементы тоже линейно зависимы. Обратное, вообще говоря, неверно. Здесь учтено, что . Это следует из линейности отображения: и, значит, Необходимо однако отметить, что в и в правой части равенства отличаются, так как это нейтральные элементы, принадлежащие разным множествам.





Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 310 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...