 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Вектор–функции одного действительного
|
|
ПЕРЕМЕННОГО; ОТОБРАЖЕНИЯ R В Rn
Вектор-функции одного действительного переменного ставят в соответствие действительному числу элемент векторного пространства. Пусть этим пространством будет векторное пространство Rn над полем R.
Определение. Пусть P – некоторое числовое множество из R и пусть каждому числу t Î R поставлен в соответствие элемент (вектор) из Rn. В этом случае говорят, что определена функция действительного переменного t Î R с векторными значениями в Rn или, короче, вектор-функция от t.
Вектор-функцию обозначают через 
(либо жирной строчной латинской буквой), а ее значение для t – через 
; есть элемент векторного пространства Rn. Выражение «вектор-функция от t Î R со значениями в Rn» имеет тот же смысл, что и следующие выражения: вектор-функция, определенная на Р, или отображение Р в Rn.
Обозначим через 
элементы канонического базиса пространства Rn. Если – вектор-функция, определенная на Р и принимающая значения в Rn, то есть элемент из Rn и, значит, представляет собой множество n действительных чисел, значение которых зависит от t и которые мы обозначим через 
; это будут координаты, или компоненты вектора по каноническому базису. Таким образом,
(
). Следовательно, для любого t Î R определены n числовых функций j 1, j 2,..., jn одного действительного переменного и, стало быть, является упорядоченным множеством n числовых функций j 1, j 2,..., jn одного действительного переменного, которые определены на множестве Р. Функции ji называются координатными функциями.
Допустим теперь, что для 
– отображение множества Р из R в Rn – существует обратное отображение 
; это означает, что для любого вектора 
, являющегося значением функции , множество тех чисел t Î R, для которых 
, сводится к одному числу. Тогда 
; будет числовой функцией n действительных переменных (книга 1, гл.3, §3).
Отметим, что комплексные функции одного действительного переменного рассмотренные нами в книге 2, гл.2 §6, п.6.1, могут быть представлены как векторные функции одного действительного переменного, или как отображение R в R 2, поскольку С, как векторное пространство отождествляется с R 2.
В заключение рассмотрим вектор-функцию одного действительного переменного t, значением которой есть радиус-вектор 
точки М в геометрическом пространстве. Как было уже сказано (гл.4, §3, п.3.3) 
– это вектор, начало которого совпадает с началом координат О, а концом является некоторая точка М геометрического пространства. Координаты вектора в ортонормированном базисе 
и координаты точки М в декартовой прямоугольной системе координат совпадают, т.е., если М (x, y, z), то 
. Пусть координаты вектора , а, следовательно, и точки М, суть функции некоторого параметра t, с областью изменения 
Тогда 
представляет собой вектор-функцию одного действительного переменного t или отображение Р в R 3. При изменении t изменяются x, y, z, и точка М – конец вектора – опишет в пространстве некоторую линию, которую называют годографом вектора = (t), и которую можно рассматривать как график вектор-функции (t).
Таким образом, вектор функция одного действительного переменного со значениями в R 3 графически изображается линией в геометрическом пространстве.
§8. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Определение 1. Пусть имеются два векторных пространства K и L над одним и тем же полем Р. Линейным отображением пространства К в L называется отображение f: K ® L, обладающее следующими свойствами:
Образы 
Следует подчеркнуть, что сложение в правой и левой частях первой из формул обозначают две, вообще говоря, различные операции: сложение в пространстве К и в пространстве L. Аналогичное замечание относится и ко второй формуле.
Определение 2. Если L = P, то значение отображения есть число из P; в этом случае говорят, что f есть линейная форма.
Так, ортогональная проекция свободного вектора на плоскость есть линейное отображение пространства R 3 в R 2.
Следствие из определения 1. Рассмотрим множество f (K), т.е. множество элементов из L, которые служат при отображении f образами, по крайней мере, одного элемента 
. f (K) есть векторное пространство, являющееся векторным подпространством пространства L и размерность пространства f (K) не превосходит размерности К. Действительно если 
линейно зависимы в К, то в Р существуют такие 
, не все равные нулю, что 
, но тогда 
,
и так элементы 
тоже линейно зависимы. Обратное, вообще говоря, неверно. Здесь учтено, что 
. Это следует из линейности отображения: 
и, значит, 
Необходимо однако отметить, что 
в 
и в правой части равенства отличаются, так как это нейтральные элементы, принадлежащие разным множествам.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 337 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
