Построение базиса

Пусть имеется n – мерное векторное пространство К, т.е. в нем существует хотя бы один базис из n векторов. Выберем в К произвольный вектор . Если К не содержит векторов, линейно независимых от , то для любого вектора имеем или и составляет базис пространства К, которое имеет размерность 1.

Допустим, что размерность n > 1. Обозначим через вектор из К линейно независимый от . Предположим, что таким путем постепенно получены линейно независимые вектора . Если r < n, то К содержит вектора линейно независимые от , иначе эти вектора составляли бы базис К, содержащим r < n = dimK векторов, что невозможно. Стало быть, найдется такой вектор , что , линейно независимы. Этим способом можно получить n линейно независимых векторов, которые и составят базис пространства К. Тот факт, что вектора для построения базиса были выбраны произвольно, свидетельствует о том, что всегда существует бесконечное множество различных базисов пространства К (но все они содержат одинаковое число векторов n = dimK). Тем самым можно считать доказанным также теорему о неполном базисе и лемму о замещении.

Теорема о неполном базисе. Всякую линейно независимую совокупность векторов где r < n = dimK всегда можно дополнить n – r другими векторами из К так, чтобы полученная система n векторов составляла базис пространства К.

Лемма о замещении. Пусть базис пространства К. Тогда любой вектор из этого базиса можно заменить другим вектором из К, который не является линейной комбинацией остальных векторов в базисе:

. Тогда – базис К.