Преобразования матриц

Как было уже сказано, матрицу А размера k×m можно рассматривать как задание системы из m вектор-столбцов в пространстве Р^k или из k вектор-строк в пространстве P^m. Можно показать (доказательство этой теоремы опускаем), что ранги систем вектор-столбцов и вектор-строк одинаковы.

Определение. Общее значение ранга системы вектор-столбцов (либо вектор-строк), заданных матрицей А, называется рангом этой матрицы и обозначается r (A).

Основываясь на выводах теорем о линейно зависимых и линейно независимых векторах, можно установить, что r (A) £ min (k, m), а также следующие элементарные преобразования матрицы, которые не изменяют ее ранга.

Элементарные преобразования матрицы:

1. Умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

2. Прибавление к элементам одной строке (столбцу) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) этой матрицы;

3. Перестановка двух строк (столбцов) местами данной матрицы.

Комбинируя элементарные преобразования, мы можем к любой строке (столбцу) матрицы прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов) и при этом ранг матрицы также не изменяется. При помощи элементарных преобразований любую матрицу

можно привести к виду

В = или Е =

где в_ii ¹ 0, i = 1,2,..., r, r £ min (k, m). Ясно, что число r ненулевых элементов равно рангу матрицы: r = r (A) = r (B) = r (E). Таким способом можно определять ранг любой матрицы.

Теперь рассмотрим матрицу А размером k ´ m как характеристику линейного отображения где , а В этом случае ранг матрицы равен рангу этого линейного отображения. Действительно, система из вектор-столбцов матрицы А состоит из m векторов, принадлежащих , а множество отображений является линейной оболочкой системы вектор-столбцов матрицы А. Таким образом, размерность подпространства отображений (ранг линейного отображения) равен рангу системы вектор-столбцов (ранг матрицы), порождающих это подпространство.

Как мы уже установили раньше, отображение будет взаимно однозначно тогда и только тогда, когда размерности пространств совпадают k = m и равны рангу r отображения, т.е. r = k = m. Следовательно, матрица, определяющая взаимно однозначное отображение должна быть размером m × m (квадратная), а ее ранг r (А) равен m.