Базис и размерность векторного пространства

Определение. Пусть К – векторное пространство над полем Р; предположим, что в этом пространстве существует конечное число n таких линейно независимых векторов , что всякий вектор из К линейно зависит от . Тогда будем говорить, что совокупность образует базис пространства К и, что векторное пространство К имеет конечную размерность n, и записывается dimK = n.

Замечание. Существуют векторные пространства, не имеющие конечной размерности; говорят, что они имеют бесконечную размерность; в таких векторных пространствах имеются сколь угодно большие совокупности линейно независимых векторов. Например, векторное пространство многочленов. Рассмотрение таких пространств выходит за рамки нашего курса линейной алгебры.

Не существует базиса и в нулевом пространстве, так как система, состоящая из одного нулевого вектора, является линейно зависимой. Размерность нулевого пространства не определена и считается равной нулю.

Следствия из определения.

1. В n – мерном векторном пространстве К совокупность, состоящая более чем из n векторов, всегда линейно зависима.

2. Если К имеет несколько базисов, то эти базисы содержат одинаковое

число векторов, и число это равно размерности К; следовательно, dimK не зависит от выбора базиса. Действительно, если К имеет базис, отличный от , последний будет иметь n ' векторов, причем n ' £ n. Точно также в К может существовать не более n ' линейно независимых векторов, а значит n £ n ', и, следовательно, n = n '.