Свободных векторов

Рассмотрим подпространство, элементом которого является линейная комбинация из трех свободных векторов . Предположим, что эта система векторов линейно зависима. Случай линейно независимых векторов будет рассмотрен позже. Мы уже установили, что если линейная комбинация из трех свободных векторов линейно зависима, то это означает, что эти вектора компланарны, т.е. существует плоскость, которой они параллельны. Очевидно, компланарным будет и любой вектор , являющийся линейной комбинацией этих векторов. Поэтому подпространство, порожденное системой таких трех линейно зависимых векторов, представляет собой совокупность всех векторов, компланарных данным. Изображается такая система векторов направленными отрезками, лежащими в одной плоскости, либо в параллельных ей плоскостях. Далее, так как система из трех векторов линейно зависима, то один из этих векторов является линейной комбинацией двух других векторов. Пусть этим вектором будет , где . Рассмотрим ситуацию, когда оставшиеся вектора линейно независимы, т.е. это означает, что они не коллинеарны. Тогда эти два упорядоченных вектора составят базис подпространства компланарных векторов и размерность этого подпространства равна двум. Следовательно, базис двумерного подпространства компланарных свободных векторов представляет собой два любых упорядоченных неколлинеарных вектора. Обычно в качестве базисных векторов двумерного пространства выбирают векторы, которые изображаются направленными отрезками, параллельными координатным осям Ох и Оу на плоскости и равные по модулю масштабному отрезку координатных осей. Первый вектор, направленный параллельно оси Ох, обозначают : его координаты (1,0), а второй вектор, направленный параллельно оси Оу обозначают : его координаты (0,1). Выбор такого базиса обусловлен тем, что если представлять любой вектор с координатами (х, у) двумерного подпространства через базис , , то в этом случае коэффициентами линейной комбинации базисных векторов будут являться координаты х и у вектора , т.е. , и как мы уже видели, это разложение единственно.

Теперь рассмотрим случай, когда вектора и , (один из которых не равен ) коллинеарны, т.е. линейно зависимы (или ). Естественно и любой вектор, являющийся линейной комбинацией этих векторов, будет им коллинеарным. Поэтому подпространство, порожденное системой векторов, из которых только один линейно независим, (им является вектор не равный ) представляет собой множество коллинеарных векторов. Базис такого подпространства состоит из одного ненулевого вектора и размерность такого подпространства равна единице. Одномерное подпространство изображается множеством направленных отрезков, расположенных на одной прямой или на параллельных ей прямых.

Теперь обобщим понятие базиса для совокупности векторов, составляющих все векторное пространство К.