Свойства базы

1. Все вектора системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базы. (см. предыдущий п.4.3, теорема 2).

2. Любой вектор подпространства, порожденного системой векторов, можно представить в виде линейной комбинации только векторов, образующих ее базу и это разложение единственно.

Доказательство. Пусть G – подпространство, порожденное векторами и пусть r < m (для r = m утверждение очевидно) база системы . Тогда оставшиеся вектора системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базы

(4.8)

...........................

Теперь рассмотрим любой вектор :

.

Подставив в это равенство вектора из (4.8), получим

или .

Определение 2. Для векторного подпространства, порожденного системой векторов , база этой системы векторов называется базисом, а ранг системы векторов называется размерностью этого подпространства.

В качестве наглядного примера рассмотрим подпространство, порожденное системой свободных векторов.