База и ранг системы векторов. Базис и размерность векторного подпространства, порожденного системой векторов

Определение 1. В любой системе векторов из К, содержащей ненулевые вектора, всегда можно выбрать подсистему , где r £ m, состоящую из максимального числа линейно независимых векторов так, что присоединение любого вектора из этой системы к указанной подсистеме делает ее линейно зависимой; действительно, так как в системе имеется не нулевой вектор, а он всегда линейно независим, то r ³ 1. Такая подсистема линейно независимых векторов называется базой исходной системы, а число r векторов в базе – рангом этой системы векторов.

Замечание. База системы определяется неоднозначно, но число векторов в базе (ранг) всегда одинаково. Например, из трех векторов , один из которых линейно зависим, можно построить три базы из двух векторов: .