Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах

Теорема 1. Если система векторов линейно зависима, то после присоединения к ней любого числа новых векторов из К, снова получается линейно зависимая система.

Доказательство. Это следует из равенства

,

в котором среди есть отличные от нуля, а все равны нулю.

Пусть задана система векторов, из К. Любую часть этой системы векторов назовем ее подсистемой. Тогда теорему 1 можно сформулировать в следующем виде.

Если какая-либо подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и сама система линейно зависима.

Для системы линейно независимых векторов справедливо следующее утверждение.

Если система состоит из линейно независимых векторов, то любая ее подсистема также состоит из линейно независимых векторов.

Следствия.

а) Если в совокупности имеется вектор , то совокупность линейно зависима; это эквивалентно утверждению, что если совокупность линейно независима, то каждый вектор ¹ .

б) Если в некоторой совокупности имеются два пропорциональных вектора, например, где , то совокупность линейно зависима, ибо таковой является частичная совокупность ; действительно,

и .

Теорема 2. Система векторов из К будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации других векторов этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть – линейно зависимая система векторов. Тогда найдется набор чисел , которые не все равны нулю, и такой, что . Предположим для определенности, что , тогда

или

, где , j = 1,2,...., m, и j ¹ i.

Достаточность.

– линейная комбинация. Умножим это равенство на (–1) и вычтем из обеих частей вектор (–1) , получим

.

Для коэффициентов имеем нетривиальную комбинацию , следовательно, система линейно зависима.