Линейная зависимость и независимость векторов

Определение 1. Система векторов из К (где m – конечно), называется линейно зависимой, а вектора линейно зависимыми, если в поле Р найдется хотя бы одна совокупность l ₁, l ₂,..., l_m, таких чисел, не все из которых равны нулю, что (4.7)

Определение 2. Система векторов , называется линейно независимой, а вектора линейно независимыми, если линейная комбинация из этих векторов равна нуль вектору только в том случае, когда .

Замечание. Один вектор линейно независим, если , и напротив, вектор – линейно зависим.

Придадим наглядности линейной зависимости и независимости векторов. Рассмотрим систему из свободных векторов.

Теорема 1. Для того чтобы два свободных вектора и были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Доказательство. Необходимость. Векторы и линейно зависимы. Следовательно , где l ₁ и l ₂ не равны нулю одновременно. Пусть, например, l ₁ ¹ 0, тогда ; отсюда следует, что и коллинеарны.

Достаточность. Векторы и коллинеарны. Следовательно , отсюда , но так как l ₁ = 1 ¹ 0, значит векторы и линейно зависимы.

Замечание. Если два вектора линейно независимы, то они не коллинеарны и наоборот.

Теорема 2. Для того чтобы три свободных вектора , и были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Доказательство этой теоремы см. книга 2, гл.4, §3, п.3.2.

Замечание. Если три вектора линейно независимы, то они не компланарны. Справедливо и обратное утверждение.