Деление многочленов по убывающим степеням

Если заданы два многочлена f (x)и g (x),то не всегда может найтись такоймногочлен h (x), что f (x) = g (x) h (x). Если же h (x)существует, то будем говорить, что f (x)делится на g (x) или что g (x) делит f (x), а также, что многочлен f (x) кратен g (x). Так, многочлен 0 кратен любому многочлену: = g (x) ·.

Теорема (о делении многочлена с остатком). Пусть имеются два многочлена f (x)и g (x) из кольца Р [ х ]. Существуют такие единственные многочлены h (x) и r (x), что f (x) = g (x) h (x) + r (x), где Сm r (x) < Сm g (x). h (x)называется частным, а r (x) - остатком от деления f (x) на g (x).

Замечание. Если Сm g (x) > Сm f (x), то h (x) = 0,а r (x) = f (x). Поэтому h (x) ¹ 0,когда Сm g (x) < Сm f (x).

Доказательство теоремы опускаем.

Следствие. Для того чтобы многочлен f (x) делился на многочлен g (x), необходимо и достаточно, чтобы остаток от деления f (x) на g (x) был равен нулю.

Практическое вычисление.

Расположение операций такое же, как при делении целых чисел, причем многочлены записываются в порядке убывания степеней переменного. Поэтому такое деление и называется делением по убывающим степеням.

Пример. f (x) = 5 х ⁶ + 1, g (x) = х ² + 2 х + 1.

f (x) = 5 х ⁶ + 0 х ⁵ + 0 х ⁴ + 0 х ³ + 0 х ² + 0 х + 1 х ² + 2 х + 1 = g (x)

5 х ⁴ · g (x) = 5 х ⁶ + 10 х ⁵ + 5 х ⁴5 х ⁴ - 10 х ³ + 15 х ² - 20 х + 25

f ₁(х) = - 10 х ⁵ - 5 х ⁴

- 10 х ³· g (x) = - 10 х ⁵ - 20 х ⁴ - 10 х ³

f ₂(х) = 15 х ⁴ + 10 х ³

15 х ² ·g(x) = 15 х ⁴ + 30 х ³ + 15 х ²

f ₃(x) = - 20х ³ - 15 х ²

20 х·g(x) = - 20 х ³ - 40 х ² – 20 х

f ₄(x) = 25 х ² + 20 х + 1

25 ·g (x) = 25 х²+ 50 х + 25

f ₅(x) = - 30 х – 24

Здесь имеем f (x) = g (x)· h (x) + r (x),где h (x) = 5 х ⁴ – 10 х ³ + 15 х ² – 20 х + 25,

r (x) = - 30 х – 24. Сm r (x) = 1; Сm r (x) < Сm g (x) = 2.

§3. ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ И НЕПРИВОДИМЫЕ

МНОГОЧЛЕНЫ. ТЕОРЕМА И АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА

Пусть даны два фиксированных многочлена f (x)и g (x), хотя бы один из

которых не равен нулю. Многочлен t (х)называется общим делителем f (x)и g (x), если он делит эти многочлены без остатка. Многочлен степени нуль, т.е. постоянные a ₀ ¹ 0, всегда является общими делителями.

Определение 1. Многочлен наибольшей степени, являющийся общим делителем многочленов f (x)и g (x),называется наибольшим общим делителем ( НОД) многочленов f (x)и g (x).

Если h (х)есть НОДмногочленов f (x)и g (x), то НОД многочленов f (x) ·y (х)и g (x) ·y (х)есть h (х) ·y (х) для любого многочлена y (х). Кроме этого, НОД являются соответственно и многочлены l h (х)и l h (х) ·y (х),где l Î R и не равно нулю. Поэтому в дальнейшем под НОДбудем понимать тот НОД, старший коэффициент которого равен 1.

Всякий общий делитель t (х)многочленов f (x)и g (x) делит НОД h (х) и всякий НОД h (х) делит f (x)и g (x); стало быть, множество общих делителей многочленов f (x)и g (x) совпадает с множеством делителей многочлена h (х).

Определение 2. Два многочлена f (x)и g (x) называются взаимно простыми, если их НОД имеет степень ноль (т.е. является не нулевой постоянной).

Если f (x)и g (x) – два взаимно простых многочлена из Р [ х ], то существуют единственные многочлены v (x) и w (x) из Р [ х ], обладающие тем свойством, что v (x) f (x) + w (x) g (x) = 1, причем Cm v (x) < Cm g (x), Cm w (x) < Cm f (x). Это равенство называется тождеством Безу.

Теорема Евклида. Если f (x)делит произведение g (x) c (x) и если f (x) и g (x) взаимно просты, то f (x) делит c (x).

Доказательство. В самом деле, НОД многочленов f (x) и g (x) есть ненулевая постоянная l и, значит, НОД многочленов f (x) c (x)и g (x) c (x) есть l c (x). Но f (x)делит f (x) c (x) и, по условию, делит g (x) c (x), а, следовательно, делит их НОД, который равен l c (x), и, стало быть, f (x) делит c (x).

Определение 3. Многочлен p (x) называется простым или неприводимым, если он не имеет других делителей, кроме самого себя и ненулевых постоянных.

Возьмем теперь произвольный многочлен f (x) и НОД h (x)многочленов f (x)и p (x); так как p (x)неприводим, то h (x) равен или p (x), или постоянной; в первом случае f (x) делится на p (x), а во втором f (x)взаимно прост с p (x).Таким образом, любой многочлен либо делится на p (x), либо взаимно прост с ним. Это может служить доказательством следующей теоремы для разложения многочленов на множители.

Теорема 2. Каждый многочлен f (x)из кольца P [ x ] степени ³1, разлагается в произведение неприводимых многочленов p (x) и с точностью до порядка следования это разложение единственно

. (3.5)

Необходимо заметить, что понятие неприводимости многочлена существенным образом зависит от поля коэффициентов R; так, многочлен х ²–4не является неприводимым в поле Q рациональных чисел, поскольку он делится на х –2и на х + 2; многочлен х ²–2неприводим в Q, но не в R, ибо он делится на х + и на х – ; многочлен х ² + 1неприводим в R, а, значит, и в Q, но не в С, так как он делится на x + i и на x – i.

Заметим еще, что многочлен первой степени неприводим для любого поля Р, поскольку всякий его делитель есть либо постоянная, либо он сам и он является единственным неприводимым многочленом над полем С комплексных чисел. Над полем вещественных чисел, кроме многочлена первой степени неприводимыми будут и все многочлены второй степени, у которых дискриминант отрицателен.

Нахождение НОД: алгоритм Евклида. Пусть f (x)и g (x) – два многочлена и Cm f (x) > Cm g (x); разделим f (x)на g (x) по убывающим степеням:

f (x) = g (x) h ₀(х) + r ₀(х), Cm r ₀(х) < Cm g (x).

Затем разделим g (x)на r ₀(х),

g (x) = r ₀(х) h ₁(х) + r ₁(х), Cm r ₁(х) < Cm r ₀(x).

Разделим снова r ₀(х)на r ₁(х), получим остаток r ₂(х), степень которого меньше степени r ₁(х). Затем разделим r ₁(х) на r ₂(х) и т.д.; степени последовательных остатков строго убывают; следовательно, наступит момент, когда некоторый остаток r_{n- 1}(х)будет делиться на остаток r_n (х),и, стало быть, получим

r_{n- 2} (х) = r_{n- 1} (х) h_n (х)– r_n (х), Cm r_n (х) < Cm r_{n- 1} (x),

r_{n- 1}(х) = r_n (х) h_{n+ 1} (х).

Всякий общий делитель многочленов f (x) и g (x) делит r ₀(х)и, значит, он делит r ₁(х)и т.д., наконец, делит r_n (х); обратно, всякий делитель остатка r_n (х)делит r_{n- 1}(х), а значит, r_{n- 2}(х) и т.д., и, следовательно, делит f (x) и g (x); таким образом, r_n (х) есть НОД многочленов f (x)и g (x).

Этот метод нахождения НОД носит название алгоритм Евклида, где слово алгоритм означает процесс вычисления.

§4. НУЛИ (КОРНИ) МНОГОЧЛЕНА. КРАТНОСТЬ НУЛЯ.

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА В ПРОИЗВЕДЕНИЕ

НЕПРИВОДИМЫХ МНОГОЧЛЕНОВ НАД ПОЛЕМ С и R

Если вместо переменной х в многочлен f (x)Î R [ х ] подставить число b Î R, то получим число, которое называется значением многочлена при х = b и обозначается

f (b) = a_к b ^к + a_{к- 1} b ^{к- 1} +... +a ₁ b + b ₀.

Определение 1. Число l из поля Р называется нулем (или корнем) многочлена f (x)Î R [ х ], если f (l) = 0.

Теорема Безу. Для того чтобы l Î R было корнем многочлена f (x)Î R [ х ], необходимо и достаточно, чтобы многочлен f (x) делился на многочлен x – l. В дальнейшем многочлен x – l будем обозначать р _l(х).

Доказательство. Необходимость: l – корень и f (l) = 0. Разделим f (x) на р_l (х) по убывающим степеням. Поскольку р_l (х) имеет степень 1, то остаток имеет степень, равную нулю, а значит, является постоянной b, которая может равняться нулю, и мы имеем f (x) = р_l (х) f ₁(x) + b. Возьмем f (l). Так как р_l (l) = 0, то f (l) = b. Следовательно, если l есть корень многочлена f (x), то f (l) = 0; стало быть, b = 0,и f (х) делится на р_l (х).

Достаточность. Если f (x)делится на р_l (х), то остаток b = 0,а тогда

f (l) = р_l (l) f ₁(x) = 0, так как р_l (l) = 0.

Кратность нуля. Пусть l Î R есть нуль многочлена f (x)Î R [ х ]; тогда, если р_l (х) = х – l, то f (x) = р_l (х) f ₁(x). Может оказаться, что f ₁(x) в свою очередь имеет l в качестве нуля, и тогда f ₁(x) = р_l (х) f ₂(x); а f (x) = (х) f ₂(x).

Определение 2. Кратностью нуля (корня) l называется наибольший целый показатель h, для которого f (x) = (х) f_h (x), причем f_h (x) уже не имеет l в качестве нуля, т.е. f_h (l) ¹ 0.

Если h = 1, то l называют простым нулем, если h = n, то l называют нулем кратности n, или n -ым (двойным, тройным и т.д.) нулем.

Пусть l ₁, l ₂, ..., l_n – различные нули многочлена f (x), и пусть h ₁, h ₂, ..., h_n – их кратности. Значит, Многочлен имеет степень 1 и поэтому неприводим для любого поля Р, а, следовательно, взаимно прост с , если l ₂ ¹ l ₁. Стало быть, и тоже взаимно просты. Но (х)делит произведение , и, следовательно, по теореме Евклида, делит b (х), и мы имеем

b (х) = Значит, Продолжая это рассуждение последовательно для всех многочленов , получаем окончательно формулу для разложения многочлена в произведение неприводимых многочленов.

и эта форма записи делает очевидным тот факт, что l_i является нулем многочлена f (х) и что его кратность равна h_i.

Пусть к есть степень многочлена f (х); последнее выражение для f (х) показывает, что к = Сm f (x) = h ₁ + h ₂ +... +h_n + Cm y (x), откуда

h ₁ + h ₂ +... + h_n £ к = Cm f (x).

Из этого, в частности, следует, что многочлен степени к не может иметь более чем к различных корней – теорема Лагранжа. Если их имеется ровно к, то все они простые.

Рассмотрим ситуацию, когда поле Р есть поле С комплексных чисел и f (x)Î С [ х ]. В этом случае справедлива теорема, которая носит название теорема Даламбера ( или основная теорема алгебры). Всякий многочлен f (x) из С [ х ] степени больше или равный единице, имеет в поле С комплексных чисел, по крайней мере, один корень.

Следствия. 1. Всякий многочлен f (x) из С [ х ] степени к имеет все свои корни в поле С комплексных чисел и их количество в точности равно к, если считать каждый корень, столько раз, какова его кратность.

2. Таким образом, если f (x)Î С [ х ] и Cm f (x) = k, то h ₁ + h ₂ +... + h_n = к,а Cm ψ (x) = 0;следовательно, ψ (x)является отличной от нуля постоянной и разложение f (x) имеет вид

(3.6)

где a_n – старший коэффициент f (x), h ₁, ..., h_n Î N, l _1, ..., l_n Î С. Эта формула называется каноническим разложением f (x) над полем С комплексных чисел.

3. Пусть f (x) – многочлен с вещественными коэффициентами из поля R, тогда если среди нулей l ₁, ..., l_n есть нуль l_i Î С кратности m, то обязательно среди корней будет и комплексно сопряженный корень такой же кратности m. Действительно неприводимыми многочленами над полем R степени больше единицы, являются многочлены a ₂ х ² + a ₁ х + a ₀, у которых дискриминант отрицательный; такие многочлены в поле комплексных чисел имеют корнями два сопряженных комплексных числа l и . (книга 2, гл.2, §2).

Теперь, объединив в пары множители, где λ_j = , h_i = h_j = μ_i в каноническом разложении многочлена f (x)надполем С получим:

(3.7)

λ ₁, λ ₂, ..., λ_t – вещественные нули f (x), a _{1 j} Î R, λ _{0 j} Î R, j = 1,2, ..., m, f (x)Î R [ x ], Сm f (x) = 2(μ ₁ + μ ₂ +... + μ_m) + е ₁ +... + е_t, многочлены (х ² + α _{1 j} х + α _{0 j})соответствуют парам нулей λ_i и λ_j = .

Полученное разложение называется каноническим разложениеммногочленаf (x) над полем R вещественных чисел.