Векторное пространство многочленов над полем p коэффициентов

Как мы видели (книга 2, гл.3, §1) сложение на множестве многочленов над полем Р наделено внутренним законом коммутативной группы. Теперь определим на множестве Р [ х ] многочленов при помощи поля Р внешний закон композиции.

Умножение на элемент из Р. Пусть lÎ Р; положим lf (х) есть многочлен, все коэффициенты которого суть произведения элемента l на коэффициенты многочлена f (х).

Очевидно, что и имеем:

, где e = 1 – нейтральный элемент умножения в Р.

Таким образом, операции сложения многочленов и умножение его на число из Р превращают множество Р [ х ] многочленов в векторное пространство над полем Р коэффициентов, а многочлен по отношению к этому множеству – это вектор и его можно обозначать .