И ее свойства

Числовая показательная функция х ® а^х (а > 0и а ¹1) действительного переменного х Î R осуществляет взаимно однозначное отображение множество R действительных чисел на множество R⁺ положительных действительных чисел; это отображение переводит сложение в умножение, т.е. сумме х ₁ + х ₂ эта функция ставит в соответствие произведение образов слагаемых: . Существует ли комплексная функция f комплексного переменного z, определенная на С и такая, что, каковы бы ни были z ₁Î С и z ₂ÎС,

f (z ₁ + z ₂) = f (z ₁) · f (z ₂).

Установлено, что такая функция f существует и ею является функция z ® е^z, значения которой для любого z = x + iy Î С определяются следующим образом

f (z) = e^x+iy = е^х (соsy + i siny).

Действительно, нетрудно показать, что для этой функции имеем

.

Кроме этого свойства показательная функция f (z) = e^z обладает также и следующими свойствами:

1. ;

2.(е ^z) ^m = e ^{m z}, где m – целое число;

3. ;

4. где m – целое число.

На основании свойства 4следует, что показательная функция е ^z есть периодическая функция с периодом 2 p i.