Векторные пространства

На некотором множестве К, наделенном внутренним законом коммутативной группы, может быть определен также при помощи некоторого другого множества L, внешний закон композиции – отображение K ´ L в К. Наиболее важным множеством такого типа является векторное пространство (или линейное пространство).

Определение. Множество К называется векторным (линейным) пространством над полем Р, если оно наделено внутренним законом (+) – сложение и внешним законом (·) – умножение на элемент из поля Р, обладающих следующими свойствами:

1. Сложение на множестве К наделено внутренним законом коммутативной группы. " х Î K, " у Î K и " z Î K имеем:

х + у = у + х;

х + (у + z) = (х + у) + z;

$ е Î K, такой, что х + е = е + х = х (нейтральный элемент),

такой что (симметричный элемент).

2. Внешний закон умножения, таким что " х Î K," у Î K и " l Î R, " m Î R,

l ×(х + у) = l× х + l× у

(l + m) × х = l× х + m× х

l× (m×х) = (l×m) × х

e× х = х,где e есть нейтральный элемент умножения в поле Р.

Элементы из векторного пространства К называются векторами и обычно обозначаются строчными латинскими буквами со стрелками вверху ( и т.п.) или же строчными буквами выделенными жирным шрифтом (a, в, x и т.п.). Элементы поля Р чаще всего обозначаются строчными греческими буквами ( и т.п.). Нейтральный элемент сложения е в К называется нулевым вектором и обозначается . Нейтральный элемент сложения е в Р обозначается 0 (нулем), а умножения e – 1 (единица). Элемент симметричный х называется также противоположным вектору и обозначается , т.е. .

Следствия из определения. 1) В векторном пространстве может быть только один нулевой вектор и для каждого вектора только один противоположный. Действительно, допустим, что существуют два нулевых вектора и тогда из определения следует, что их сумма должна быть равна каждому из них, т.е. , или и, следовательно, Аналогично, если какой-нибудь вектор имеет два противоположных и , то сумма должна быть равна и и , следовательно = .

2) Если то либо l, либо .

3) Равенство выполнено для любых l и m если . Если же , то, прибавив к обеим частям равенства получим, и значит , но , следовательно l – m = 0 и l = m.

4) Равенство выполнено для любых и если l = 0. Если же l ¹ 0, то или . Так как l ¹ 0, то откуда .