Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Извлечение корня

Рассмотрим отличное от нуля комплексное число z = а + iв, и запишем его, используя значение |z| = d (ОМ) и φ = Аrg z. Воспользовавшись, рис.2.1, можем записать, а = |z| cosj и в = |z|sin j. Тогда для комплексного числа получаем:

z = |z| (cosφ +i sinφ) или z = r (cosφ +i sinφ), где r = |z|. (2.5)

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа. Для z = 0 тригонометрическая форма не определена, и за аргумент можно взять любое действительное число.

Использование тригонометрической формы комплексного числа значительно упрощает операции умножения, деления и извлечения корня.

Умножение. Пусть z ₁ · z ₂ ¹ 0

и z ₁ = r ₁(cosφ ₁ +i sinφ ₁),а z ₂ = r ₂(cosφ ₂ +i sinφ ₂). Тогда

z ₁· z ₂ = r ₁ r ₂ (cosφ ₁ +i sinφ ₁)(cosφ ₂ +i sinφ ₂) =

= r ₁ r ₂[(cosφ ₁ cosφ ₂ – sinφ ₁ sinφ ₂) + i (sinφ ₁ cosφ ₂ + cosφ ₁ sinφ ₂)] =

= r ₁ r₂ [ cos (φ ₁ +φ ₂) + i sin (φ ₁ + φ ₂)].

Таким образом, произведение двух комплексных чисел, отличных от нуля, есть комплексное число, модуль которого равен произведению модулей этих чисел, а аргумент равен сумме аргументов перемноженных чисел. Полученный результат легко перенести на произведение n чисел z ₁, z ₂, ..., z_n. В частности если z ₁ = z ₂ =... = z_n = z = r (cosφ +i sinφ), то

zⁿ = rⁿ (cos nφ +i sin nφ). (2.6)

Это равенство называется формулой Муавра. Отсюда

|zⁿ| = |z|ⁿ, Arg zⁿ = n Arg z.

Деление.

.

Равенство возможно, если

.

Частное двух комплексных чисел, отличных от нуля, есть комплексное число, модуль которого равен частному модулей данных чисел, а аргумент – разнице аргументов числителя и знаменателя.

Извлечение корня. Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется любое число z_k Î С, n - ая степень которого равна z. Таким образом, . Из последнего равенства имеем:

и . Следовательно, и .

Если z = 0, то непременно z_к = 0 и значит, ноль имеет в С только один корень n- ой степени, а именно ноль.

Теперь допустим, что z ¹ 0. Поскольку Arg z определен с точностью до 2 p, и поэтому аргумент числа z_к может принимать n, и только n значений, определенных с точностью до 2 p, а именно:

, где к = 0, 1, 2, ..., n – 1.

Следовательно, имеет на множестве С п различныхзначений z ₀, z ₁, ..., z_{n- 1}, п -ая степень которых равна z: , к = 0, 1, 2,..., n – 1.

. (2.7)

Ясно, что точки, отображающие числа z_к на комплексной плоскости, лежат на окружности с центром О и радиусом и представляют собой вершины правильного n -угольника.

Рассмотрим частный случай, когда z = 1; тогда |z| = 1, аrg z = 0,

, m = 0, ± 1, ± 2, ... и, значит, корни n -ой степени из единицы имеют модуль 1, а аргумент где к = 0,1, 2,..., n – 1. Стало быть, корнями единицы на множестве С будут числа:

где к = 0, 1, 2,..., n – 1, m = 0, ±1, ±2, ....

Точки, отображающие числа z_к на комплексной плоскости для случая n = 6 показаны на рис.2.2.

j=p/3

Рис. 2.2