Комплексного числа

Если в z = x + iy положить х = 0, то для е ^z получим

е ^{i y} = cosy + i siny (2.8)

Это есть формула Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции. Заменяя в формуле Эйлера у на –у, получим:

е ^{–i y} = cosy – i siny.

Теперь, комбинируя е ^{i y} и е ^{–i y}, имеем:

Эти формулы также называются формулами Эйлера.

Представим комплексное число z = a + iв в тригонометрической форме

z = r (cosj + isinj),где ; j = argz + 2 pm, m = 0, ±1, ±2,...;

если а > 0; если а < 0; argz = p / 2 или –p / 2(3 p / 2)если а = 0. По формуле Эйлера cosj + i sinj = e ^ij и, следовательно, всякое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:

z = |z| e ^ij = r e ^ij = r e ^{i (arg z + 2 p m )}.