Многочлены

Определение. Пусть Р– заданное поле (R или С), а х – некоторый формальный символ. Выражение вида:

a_кх^к + a_{к- 1} х^{к- 1} +... + a ₁ х + a ₀ х ⁰, где индекс к Î Z ₀ : a ₀, a ₁, ..., a_к Î R,

называется многочленом от переменного или (неизвестного) х над полем Р. По соглашению пишут х ⁰ = 1, а многочлен записывают в виде

a_к х^к + a_{к- 1} х^{к- 1} +... + a ₁ х + a ₀(3.1)

Элементы a ₀, a ₁, ..., a_к Î R, называются коэффициентами многочлена; коэффициент a ₀, называется свободным членом. Если все коэффициенты равны нулю, то соответствующий многочлен называется нулевым и обозначается нулем.

Наибольший индекс к, при котором a_к ¹ 0,называется степенью (или порядком) многочлена, а a_к – старшим коэффициентом многочлена. Нулевой многочлен степени не имеет.

Если х Î R и Р = R, то многочлен представляет собой числовую функцию одного действительного переменного. Такая функция называется полиномом или целой рациональной функцией.

Многочлены переменного х будем обозначать f (x), g (x)и т.п., а множество многочленов над полем Р – Р [ x ].

Два многочлена из множества Р [ x ]

f (x) = a_к х^к +... + a ₁ х + a ₀ и g (x) = b_m x^m +... + b ₁ x + b ₀

будем считать равными и записывать f (x) = g (x),если m = к (одинаковая степень) и a_i = b_i , для i = 0,1, ..., к.

Многочлен можно записывать и в порядке возрастания индексов

a ₀ + a ₁ х +... + a_{к- 1} х^{к- 1} + a_к х^к (3.2)

Заметим, что многочлен g (x) степени m всегда можно заменить равным ему многочленом с индексом к > m, добавив к g (x) многочлен

b _m+(к-m) x ^m+(к-m) +... + b _{m+ 1} x ^{m+ 1},где b _{m+ 1} = b _{m+ 2} =... = b _m+(к-m) = 0, т.е.

g (x) = b ₀ + b ₁ х +... +b _m х^m + 0 х^{m+ 1} + 0 х^{m+ 2} +... +0 х^к.

Стало быть, любой многочлен можно рассматривать как последовательность { b ₀, b ₁, ..., b_m,0, 0 ... } из Р,в которой все члены с некоторого индекса равны нулю.