Кольцо многочленов

Введем на множестве многочленом Р [ x ] два внутренних закона композиции – сложение и умножение многочленов, дистрибутивный относительно сложения многочленов.

Сложение. Суммой двух многочленов f (x) и g (x) называется многочлен

h (x) =y_t x^t+....+ y ₁ x + y ₀,где y_i = a_i + b_i, i = 0,1, 2,…, t,

степень многочлена t равнанаибольшей из двух степеней, если эти степени не равны; если же они равны, то может случиться, что степень окажется меньше (при m = k, a_k = – b_k) и, следовательно, всегда имеем

Сm h (x)£ max [ Cm f (x), Cm g (x)].

Ясно, что операция сложения ассоциативна и коммутативна.

Имеется нейтральный элемент, а именно многочлен, обозначаемый 0 = 0 х^к +... + 0 х, все коэффициенты которого нули.

Наконец всякий многочлен обладает симметричным, обозначаемым

– f(x) = – a_к х^к – a _{к- 1} х ^{к- 1} –... – a ₁ х ₁ – a ₀; это многочлен, все коэффициенты которого противоположныкоэффициентаммногочлена f (x).

Следовательно, наделенное этим законом множество многочленов составляет абелеву (коммутативную) группу.

Умножение. В силу дистрибутивности умножения относительно сложения достаточно определить его для многочленов вида a_i хⁱ. Для a_i Î R, b_j Î R положим

(a_i хⁱ)(b_j х^j) = a_i b_j x^i+j (3.3)

Иными словами, мы перемножаем переменные, как если бы их индексы были показателями степеней. Если

f (x) = a ₀ + a ₁ х +... + a_к х^к, g (х) = b ₀ + b ₁ +... + b_m х^m,

то в силу дистрибутивности,

f (x) ·g (x) = a ₀ b ₀ + (a ₀ b ₁ + a ₁ b ₀) х +... + (a ₀ b_i + a ₁ b_{i- 1} +... + a_i b ₀ ) хⁱ +... +

+ a_кb_m х^к+m.

Эта операция коммутативна и дистрибутивна относительно сложения. При помощи довольно длинного, но не сложного вычисления убеждаемся в том, что она ассоциативна.

Отметим следующее важное свойство:

Сm [ f (x) ·g (x)] = Cm f (x) + Cm g (x). (3.4)

Таким образом, множество P [ x ] есть коммутативное кольцо. Многочлен u (x) = h ₀+ h ₁ x +... + h_t x^t есть нейтральный элементотносительно умножения,если u (x) ·f (x) = f (x) для любого многочлена f (x). В частности, должно выполняться u (x) ·x^k = x^k, и, значит,

h ₀ x^k + h ₁ x^{k+ 1} +... +h_t x^k+t = x^k,

что дает нам h ₀ = 1, h ₁= h ₂= ... = h_t = 0. Стало быть, u (x) = x ⁰ = 1; это дает право отождествить многочлен x ⁰ с числом 1.

Многочлен f (x) относительно умножения не имеет симметричного ему многочлена.

Следствие. Равенство f (x)· g (x) = f (x) ·y (x) при f (x) ¹ 0 влечет g (x) = y (x).Действительно, равенство записывается также в виде

f (x)[ g (x) - y (x)]= 0,но f (x) ¹ 0, значит, g (x) - y (x) = 0и g (x) = y (x).