Векторные пространства р n над полем р

Любое поле Р (поле R действительных или С комплексных чисел) является векторным пространством над самим собой со сложением в качестве внутреннего закона и умножением в качестве внешнего (К = L = Р).

Произведение любого конечного числа n множеств Р есть также векторное пространство над полем Р. Обозначается это векторное пространство Элементами (векторами) этого пространства являются упорядоченные наборы из n чисел (a ₁, a ₂,..., a_n), называемые компонентами или координатами вектора: = (a ₁, a ₂,..., a_n), где , а Внутренний и внешний законы композиции в этом пространстве имеют вид:

, (4.1)

здесь

В принципе компоненты вектора могут располагаться не только строкой , но и столбцом .

В зависимости от расположения эти пространства называются пространством вектор-строк длиной n, либо вектор-столбцов высотой n.

Рассмотрим случай, когда P = R и векторные пространства Pⁿ = Rⁿ вещественные (действительные). Если n = 1,2,3,то, как мы уже выяснили, между множеством точек арифметического пространства Rⁿ и множеством точек ориентированного геометрического пространства можно установить взаимно однозначное отображение, обладающее наглядностью: R ¹® множество точек координатной оси; R ²® множество точек координатной плоскости; R ³ ® множество точек ориентированного геометрического пространства. Под отображением здесь понимается способ определения координат точек пространства.

По аналогии естественно предположить, что в геометрическом пространстве существуют и наглядные векторные пространства, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с векторными пространствами Rⁿ над полем R, где n = 1, 2,3. Установим такое соответствие.