Комплексных чисел

Геометрически комплексное число z = a + iв, как элемент множества R×R, представляется точкой М на координатной плоскости xOy с координатами (а, в). И это отображение, как мы видели (книга 1, гл.2, §4, п.4.2), взаимно однозначно.

Рассмотрим отрезок ОМ и угол j, который он составляет с осью Оx (рис.2.1). Определим длину отрезка ОМ. Из прямоугольного треугольника ОММ ₁ по теореме Пифагора

,

следовательно, длина отрезка ОМ соответствует модулю комплексного числа z: d (ОМ) = |z|.

y

М ₂ М (а, в) ® z

в

0 φ М ₁

- а - φ ах

- в

М (- а,- в) ® - zМ (а,- в) ®

Рис. 2.1

Угол j при заданном d (ОМ) однозначно определяет положение точки на координатной плоскости, а, следовательно, и комплексное число. Этот угол называют аргументом комплексного числа и обозначают Arg z. Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси Оx против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчета. Очевидно, что аргумент j для заданного комплексного числа определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2 π, т.е.

φ = Arg z = argz + 2 πm, где m = 0, ±1, ±2,...,

arg z – значения аргумента комплексного числа, определяемые неравенствами 0 £ arg z < 2 π (или – £ arg z < ) и которые называют главными значениямиаргумента комплексного числа.

Если – arg z < и точка М находится в координатной полуплоскости положительных значений оси Оx (а >0),то arg z = arc tg , если же отрицательных значений(а < 0), то arg z = p + arc tg . При а = 0: arg z = , если b > 0,и arg z = – , если b < 0. Для определения arg z можно пользоваться также следующей системой уравнений

cosj = , sinφ = .

Откуда, при условии, что 0 j < 2 π

Таким образом, под Аrg z понимается все множество углов, отвечающих числу z и, как видно из рис.2.1, имеем: Аrg = –Аrg z; Аrg (– ) = π + Аrg z.

Множество действительных чисел характеризуется условием (а,0) и, следовательно, они лежат на оси Оx. Множество же мнимых чисел условием (0, в) и лежат на оси Oy. Поэтому ось Ox называется действительной, а ось Oy – мнимой осью. Вся плоскость в целом называется комплексной плоскостью.