Комплексно сопряженные числа

Поскольку (– i)² = –1, то число – i обладает свойством числа i, а именно, его квадрат равен –1.

Определение. Комплексно сопряженным с числом z = а + iв называется комплексное число = а – iв, т.е. число, отличающееся от z только знаком мнимой части.

Отображение z ® есть взаимно однозначное отображение множества комплексных чисел на себя, т.е. перестановка этого множества, так как если z = а + iв, z' = а' + iв^', то условие = ' влечет а = а' и в = в', и, следовательно, z = z'.

Пусть z = а + iв и z' = а' + iв'; имеем

(z + z') = (а +а')– i (в +в') = + '.

Точно также z·z' = (аа' – вв') – i (ав' + а'в) = · '.

Итак, отображение z ® есть изоморфизм относительно сложения и умножения.

Имеют место, также, следующие свойства:

1. z + = 2 Re z = 2 а. Следовательно, сумма комплексного числа с его сопряженным всегда есть действительное число;

2. z – = 2 i Im z = 2 iв, следовательно, разность комплексного числа с его сопряженным всегда есть мнимое число;

3. z· = а ² + в ². Следовательно, произведение комплексного числа на его сопряженное есть действительное число, которое ³ 0;

4. если z = ,то z – действительное число.

Рассмотрим уравнение ах ² + вх + с = 0, где а Î R, в Î R,и с Î R. (2.3)

Решениями такого уравнения являются числа:

и .

Если дискриминант D = в ² – 4 ас > 0, то решениями уравнения (2.3) будут два различных действительных числа. При условии D = 0 и также принадлежат R. Для случая же D < 0 уравнение (2.3) в поле R решений не имеет. Определим их в поле С комплексных чисел. С этой целью преобразуем дискриминант D = в ² – 4 ас = – (4 ас – в²) = i ²(4 ac – в ²), где 4 ас – в ² > 0,тогда имеем:

и ;

Следовательно, уравнение (2.3) у которого D < 0,на поле С имеет два корня: комплексное число х = a + ib и комплексно сопряженное ему

=a – ib.