Поле с комплексных чисел

Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара (а, в) двух действительных чисел, а Î R и в Î R. Следовательно, z = (а, в) является элементом произведения R×R или точкой арифметического пространства R ².

Определим на множестве R×R два внутренних закона – сложение и умножение – при помощи следующих правил:

z ₁ + z ₂ = (а ₁, в ₁) + (а ₂, в ₂ ) = (а ₁ + а ₂, в ₁ + в ₂)

z ₁ · z₂ = (а ₁, в ₁) · (а ₂, в ₂) = (а ₁ а ₂– в ₁ в ₂, а ₁ в ₂ + а ₂ в ₁).(2.1)

Для того чтобы z ₁ = z ₂, необходимо и достаточно, чтобы а ₁ = а ₂ и в ₁ = в ₂.

Покажем теперь, что множество комплексных чисел, на котором заданы эти две операции, является полем С.

Сложение на множестве С:

1. ассоциативно: z ₁ + (z ₂ + z ₃) = (z ₁ + z ₂) + z ₃;

2. коммутативно: z ₁ + z ₂ = z ₂ +z ₁;

3. обладает нейтральным элементом е = (0,0);

4.обратимо, т.е. каждое комплексное число (а, в) имеет симметричный элемент (– а,– в)

(а, в) + (– а,– в) = (0,0) = е.

Следовательно, для сложения множество С является абелевой группой.

Умножение на множестве С:

1. ассоциативно z ₁·(z ₂ ·z ₃) = (z ₁ ·z ₂) ·z ₃;

2. коммутативно z ₁ · z ₂ = z ₂ · z ₁;

3. обладает нейтральным элементом е = (1,0)

(а, в) · (1,0) = (а · 1 – в· 0, а· 0 + 1 ·в) = (а, в);

4. без нейтрального элемента е = (0,0) для сложения – обратимо

Таким образом, множество С без е = (0,0) для операции умножения является абелевой группой.

Умножение дистрибутивно относительно сложения

[(a ₁, b ₁) + (a ₂, b ₂)] · (a ₃, b ₃) = (a ₁, b ₁) · (a ₃, b ₃) + (a ₂, b ₂) · (a ₃, b ₃).

Итак, все условия выполнены, и множество комплексных чисел составляет поле С.

Докажем, чтопостроенноеполе удовлетворяет поставленным требованиям.

1. Обозначим через D множество пар вида (a,),где a Î R, а D Ì C. Выясним, как действуют операции (2.1), определенные на C, на множестве D.

(a ₁,) + (a ₂,) = (a ₁ + a ₂,),

(a ₁,) · (a ₂,) = (a ₁ ·a ₂– ·, a ₁ · + a ₂ ·) = (a ₁ ·a ₂,).

Следовательно, если каждому числу a Î R поставить в соответствие (a,)Î D, то множество D комплексных чисел вида (a,)изоморфно относительно сложения и умножения соответствующих чисел a из R. Поэтому множества D и R можно отождествить. Таким образом, первое условие выполнено: R Ì C.

2. В поле R уравнение x ² + 1 = решения не имеет. Ищем решение этого уравнения в поле С. В нем вещественное число 1 ® (1,0); 0 ® (0,0); x ® (u, v), и уравнение принимает вид

(u, v)² + (1,) = (,).

Выполнив в левой части уравнения операции умножения (u, v) · (u, v) и сложения с (1,0),получим

(u ² – v ² + 1,2 uv) = (,).

По определению равенства пар имеем u ² – v ² + 1 = и 2 uv =. Отсюда u = (либо v =) и v = ± 1 (либо u ² = – 1, решения не имеет). Следовательно, получаем два решения

х ₁ = (0,1) и х ₂ = (0,–1).

Пары являющиеся решениями уравнения х ² + 1 = 0,обозначают (0,1) = i, а (0,–1) = – i, и i называют мнимой единицей.

В этом случае любое комплексное число может быть записано в виде

z = (а, в) = (а,0) + (0, в) = а + (0,1)(в,0) = а + iв, (2.2)

где а и в – действительные числа, а i ² = (– i)² = –1. Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Число а называется действительной, а в – мнимой частью числа z. Обозначают а = Re z, в = Im z. Если а = 0, то число 0 + iв = iв называется мнимым.

Следовательно, при всяком действии сложения и умножения можно заменять комплексные числа z суммой а + iв и производить операции как с действительными числами; достаточно заменять i ² на –1 всякий раз, как i будет появляться со степенью, не меньшей 2, например, i ³ = i ² · i = – i, i ⁴ = 1, i ⁵ = i и т.д.

Пример. (а + iв)³ = а ³ + 3 а ² iв +3а (iв)² + (iв)³ = а ³ + i 3 а ² в – 3 ав ² – iв ³ =

=(а ³ – 3 ав ²) + i (3 a ² в – в ³).