Изоморфизм

Определение. Пусть имеются два различных или совпадающих множества К и L; и пусть К наделено внутренним законом ┬, а L – внутренним законом ^. Изоморфизмом множества К на L называется такое взаимно однозначное отображение f множества К на L, что f (а ┬ в ) = f (а)^ f (в), каковы бы ни были а и в из К; говорят, что К и L изоморфны относительно законов ┬ и ^.

Примеры. 1. К = Z, закон ┬ есть сложение; L – множество чисел вида 2 ^m (где m Î Z), а закон ^ – умножение. Отображение f: m ® 2 ^m есть изоморфизм, поскольку m + ® 2 ^{m + m '} = 2 ^m · 2 ^{m '},т.е. f (m + m¢^') = f (m) · f (m¢^'),и отображение взаимно однозначно, поскольку 2 ^р = 2 ^g влечет р = g.

2. Пусть К = R⁺, а закон ┬ есть умножение; пусть далее L = R, а закон ^ есть сложение. Отображение х ® ln x, т.е. f (х) = ln x, есть изоморфизм, так как ln (х, у) = ln х + ln у, и, кроме того, это отображение взаимно однозначно,так как ln u = ln v Þ u = v.

Изоморфизм позволяет заменить операцию а ┬ в во множестве К следующими операциями: образуем элементы а' = f (a)и в' = f (в) множества L, а в L применим к ним операцию ^, т.е. образуем элемент а' ^ в' = с'; наконец, получим а ┬ в = f ^{– 1}(с'). Этот процесс представляет интерес в том случае, когда операция ^ в L более проста, чем операция ┬ в К. Так поступают, заменяя при помощи логарифмов умножение сложением.

Когда имеется изоморфизм между двумя множествами, каждое из которых наделено одним или несколькими внутренними законами, соответствующими друг другу при этом изоморфизме, эти множества часто отождествляются, т.е. для обозначения их элементов и символов внутренних законов, соответствующих друг другу при изоморфизме, используются одни и те же символы. С примером такого отождествления мы встретимся при изучении комплексных чисел и векторных пространств.