Основные алгебраические образования: группы, кольца, поля

Группа. Говорят, что множество К, наделенное внутренним законом ┬, есть группа, если закон ┬ обладает следующими тремя свойствами:

а) закон ассоциативен;

б) имеется нейтральный элемент;

в) всякий элемент х Î K имеет симметричный.

Если к этим трем свойствам добавляется четвертое свойство коммутативности закона, то группа называется коммутативной или абелевой.

Примеры. Если К = N, то сложение не превращает N в группу, так как не выполнены два последних условия. Если же К = Z, то сложение превращает Z в абелеву группу.

Кольцо. Не пустое множество К, на котором определены две алгебраические операции ^ и ┬, называют кольцом, если множество К относительно ^ образует абелеву группу, а второй закон ┬ ассоциативен на К и дистрибутивен относительно ^.

Если второй закон ┬коммутативен, то кольцо называют коммутативным.

Пример. Множество Z есть коммутативное кольцо: закон группы (абелевой) – сложение, второй закон – умножение.

Поле. Кольцо К, обладающее тем свойством, что множество элементов из К, лишенное нейтрального элемента первого закона, составляет абелеву группу относительно второго закона, называется полем.

Из определения поля следует, что оно содержит, по крайней мере, два нейтральных элемента (но они принадлежат разным законам).

Пример. Множество R действительных чисел есть поле (закон ^ – сложение, ┬ – умножение).