Свойства внутренних законов композиции

Коммутативность. Внутренний закон ┬ называется коммутативным (переместительным), если для любых х ₁и х ₂выполняется условие

х ₁┬ х ₂ = х ₂┬ х ₁(1.1)

Примеры. Пусть К = Z. Операции сложения и умножения целых чисел коммутативны, а возведение в степень и вычитание – нет:

¹ и х ₁– x ₂ ¹ х ₂ – х ₁.

Ассоциативность. Внутренний закон ┬называется ассоциативным (сочетательным), если для любых x ₁, x ₂, х ₃ из К выполняется условие

(х ₁┬ х ₂)┬ х ₃ = х ₁┬(х ₂┬ х ₃)(1.2)

Здесь важно соблюдать порядок элементов.

Примеры. Сложение и умножение целых чисел ассоциативны, а возведение в степень и вычитание – нет: (3 – 5) – 2 ¹ 3 – (5 – 2); (2²)³ = 64, но

Нейтральный элемент. Если существует такой элемент е Î K, что

е ┬ х = х ┬ е = х, (1.3)

каково бы ни было х Î K, то е называется нейтральным элементом относительно операции ┬.

Если нейтральный элемент е существует, то он будет единственным. Ибо, если бы нашелся другой элемент е', то мы имели бы е' ┬ у = у ┬ е' = у при любом у. Тогда, взяв в х ┬ е = х в качестве х элемент е', получим е' ┬ е = е'. Взяв же в е' ┬ у = у в качестве у элемент е, получим также е' ┬ е = е. Следовательно, е = е'.

Примеры. Если К = N, то сложение нейтрального элемента не имеет, а 1– нейтральный элемент умножения. Если К = Z, то и сложение, и умножение имеют нейтральные элементы, соответственно 0и 1. Для закона композиции отображений g o f нейтральным элементом служит тождественное отображение e o f = f o e = f.

Симметричные элементы. Пусть ┬ есть внутренний закон композиции на К, обладающий нейтральным элементом е. Говорят, что элемент из К симметричен элементу х из К относительно операции ┬, если

┬ х = е (1.4)

Если х = е, то его симметричным элементом служит он сам, так как е ┬ е = е.

Если элемент х имеет симметричный элемент , а элемент имеет симметричным элементом х, т.е. когда выполнено условие,

┬ х = х ┬ = е, (1.5)

то говорят, что элемент х обратим относительно операции ┬.

Если каждый элемент х Î K обратим относительно операции ┬, то такая операция на этом множестве К называется обратимой.

Примеры. Если х есть действительное число, то – х симметрично ему относительно сложения и операция сложения обратима на множестве R. Если же, кроме того, х ¹0, то симметрично х относительно умножения и операция умножения также обратима на множестве R, но без х = 0.

Дистрибутивность. Если на множестве К определены два закона композиции, обозначенные ┬ и ^, то закон ┬ будет называться дистрибутивным (распределительным) относительно закона ^, если для любых x, y, z из К имеет место

х ┬ (у ^ z) = (х ┬ у)^ (х ┬ z) (1.6)

Примеры. Умножение чисел дистрибутивно относительно сложения, так как х· (у + z) = x·y +х·z, но сложение не дистрибутивно относительно умножения, поскольку равенство х + (у·z) = (х + у)·(х + z) не является справедливым для всех х, у, z из R.

Операции объединения и пересечения множеств также являются законами композиции, и как легко показать, для любых А, В, С:

А Ç (B È С) = (А Ç B) È (A Ç С); А È(B Ç С) = (А È B) Ç(A È С),

следовательно, каждый из этих законов дистрибутивен относительно другого.