Производные функции, заданной параметрически

Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат . Пусть функции непрерывны на отрезке изменения параметра. Если параметр рассматривать как время, то указанные функции определяют закон движения точки с координатами

,

на плоскости .

Определение. Множество всех точек плоскости, координаты которых определяются уравнениями

,

называют плоской кривой.

Говорят в этом случае, что кривая задана в параметрической форме.

Если из уравнений в параметрической форме можно исключить параметр , то определится как явная или неявная функция . Однако читатель должен знать, что исключение параметра из уравнений является в большем числе случаев задачей трудной, а иногда и просто неразрешимой.

В механике эти уравнения называются уравнениями движения точки. Если из этих уравнений исключить , то получится уравнение траектории точки.

Если функция задана параметрически с помощью системы уравнений

,

то ее производные высших порядков вычисляются последовательно по формулам

и т. д.