Метод логарифмического дифференцирования

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т. е.

.

Если требуется продифференцировать произведение нескольких функций или дробь, числитель и знаменатель которой содержат произведения, часто представляется выгодным обе части данного выражения сначала прологарифмировать, по основанию , а потом уже приступить к дифференцированию.

К этому приему удобно прибегать и при дифференцировании выражений, содержащих корни из дробей.

К нему прибегают всегда, когда следует продифференцировать функцию вида

,

т. е. когда и основание степени, и показатель степени есть функции .

Порядок действий при логарифмическом дифференцировании следующий:

1. Найти сначала логарифм данной функции.

2. Результат логарифмирования продифференцировать.

3. Найти из результата дифференцирования.

Пример 3. Найти производную функции .

▲ 1. .

2.

3. . ▼

Пример 4. Найти производную функции .

▲1. .

2. .

3. . ▼

Пример 5. Найти производную функции .

▲ Способ 1. 1. .

2. .

3. .

Способ 2. Для нахождения производной ее удобно представить в виде . Тогда

.

Способ 3. Для нахождения производной можно воспользоваться формулой дифференцирования степенно-показательной функции.

. ▼

Решение задач 1-14 типового варианта

Продифференцировать данные функции:

1. .

▲ . ▼

2. .

▲ . ▼

3. .

▲ . ▼

4. .

▲ . ▼

5. .

▲ . ▼

6. .

▲ . ▼

7. .

▲ . ▼

8. .

▲ . ▼

9. .

▲ . ▼

10. .

▲ . ▼

11. .

▲

. ▼

12. .

▲

. ▼

13. .

▲

. ▼

14. .

▲ Применяя метод логарифмического дифференцирования, последовательно находим:

,

,

. ▼