Производная сложной функции

Рассмотрим суперпозицию двух функций: , где . В этом случае – называют промежуточным аргументом, – независимой переменной.

Функцию, заданную в виде суперпозиции функций, называют сложной функцией. Таким образом, прилагательное «сложная» характеризует не функцию, а способ ее задания.

Теорема (о дифференцировании сложной функции). Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке , причем

.

Последнее равенство можно записать в виде

.

Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

Физическая интерпретация формулы: производная есть скорость изменения переменной по отношению к изменению переменной , а производная – скорость изменения переменной по отношению к изменению переменной . Ясно, что скорость изменения переменной по отношению к изменению переменной равна произведению скоростей . (Если движется быстрее в раз, а – быстрее в раз, то движется быстрее в раз).

Правило нахождения производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например, если , т. е. если , то

.

Если функция, которую надо продифференцировать, не является сложной, то мы в сводке формул для вычисления производных будем полагать, что , т. е. – независимая переменная. Тогда (производная независимой переменной равна единице), и поэтому, применяя указанные формулы, умножать на не придется, так как такое умножение равносильно умножению на единицу, а, как известно, умножение на единицу не изменяет произведения.

Обычно путают степенную и показательную функции и совсем не знают степенно-показательной функции.

Функция называется степенной, если она имеет вид

,

где основание степени – переменная величина, показатель степени .

Например, . Здесь .

Функция называется показательной, если она имеет вид

,

где основание , а показатель – переменная величина.

Например, . Здесь .

Функция называется степенно-показательной, если она имеет вид

,

где основание и показатель – переменные величины.

Например, . Здесь .

Производная степенной функции	Производная показательной функции

Производная степенно-показательной функции состоит из суммы:

Поучитесь вычленять в сложной функции основные элементарные функции, которые ее составляют, и пользоваться правилом дифференцирования сложной функции.

Пример 1. Функция состоит из пяти основных элементарных функций, которые можно записать в виде цепочки простых функций таким образом:

.

Продифференцируем эту функцию по правилу

Продифференцируем каждую из основных элементарных функций:

.

Теперь подставим вместо их значения из цепочки и производная от сложной функции получена:

.

Так будет выглядеть результат дифференцирования без упрощения.

При дифференцировании рекомендуется сразу писать результат дифференцирования без введения промежуточных аргументов. Все промежуточные операции следует выполнять в уме.

Пример 2. Найти производную функции .

▲ В уме: – Функция состоит из пяти основных элементарных функций: степенная, котангенс, арккосинус, показательная и .

▼

При дифференцировании можно руководствоваться следующим правилом:

1. Все функции считать сложными.

2. Научиться определять основные элементарные функции и их промежуточные аргументы.

3. Умножать на производную основной элементарной функции по промежуточному аргументу до тех пор, пока в результате дифференцирования не будет получена .

Порядок дифференцирования обратный порядку вычисления значения функции в точке.

Вычисление значения функции начинается справа налево, а дифференцирование наоборот – слева направо.

Первой дифференцируется та основная элементарная функция, которая вычислялась бы последней – это самое главное!

Чтобы обратить ваше внимание на порядок дифференцирования, в следующем примере основные элементарные функции подчеркнуты в соответствии с их порядковым номером при дифференцировании.

Пример 3. Найти производную функции .

▲ . ▼