![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим суперпозицию двух функций: , где
. В этом случае
– называют промежуточным аргументом,
– независимой переменной.
Функцию, заданную в виде суперпозиции функций, называют сложной функцией. Таким образом, прилагательное «сложная» характеризует не функцию, а способ ее задания.
Теорема (о дифференцировании сложной функции). Если функция дифференцируема в точке
, а функция
дифференцируема в соответствующей точке
, то сложная функция
дифференцируема в точке
, причем
.
Последнее равенство можно записать в виде
.
Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
Физическая интерпретация формулы: производная есть скорость изменения переменной
по отношению к изменению переменной
, а производная
– скорость изменения переменной
по отношению к изменению переменной
. Ясно, что скорость
изменения переменной
по отношению к изменению переменной
равна произведению скоростей
. (Если
движется быстрее
в
раз, а
– быстрее
в
раз, то
движется быстрее
в
раз).
Правило нахождения производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например, если , т. е. если
, то
.
Если функция, которую надо продифференцировать, не является сложной, то мы в сводке формул для вычисления производных будем полагать, что , т. е.
– независимая переменная. Тогда
(производная независимой переменной равна единице), и поэтому, применяя указанные формулы, умножать на
не придется, так как такое умножение равносильно умножению на единицу, а, как известно, умножение на единицу не изменяет произведения.
Обычно путают степенную и показательную функции и совсем не знают степенно-показательной функции.
Функция называется степенной, если она имеет вид
,
где основание степени – переменная величина, показатель степени
.
Например, . Здесь
.
Функция называется показательной, если она имеет вид
,
где основание , а показатель
– переменная величина.
Например, . Здесь
.
Функция называется степенно-показательной, если она имеет вид
,
где основание и показатель
– переменные величины.
Например, . Здесь
.
Производная степенной функции | Производная показательной функции |
![]() | ![]() |
Производная степенно-показательной функции состоит из суммы:
Поучитесь вычленять в сложной функции основные элементарные функции, которые ее составляют, и пользоваться правилом дифференцирования сложной функции.
Пример 1. Функция состоит из пяти основных элементарных функций, которые можно записать в виде цепочки простых функций таким образом:
.
Продифференцируем эту функцию по правилу
Продифференцируем каждую из основных элементарных функций:
.
Теперь подставим вместо их значения из цепочки и производная от сложной функции получена:
.
Так будет выглядеть результат дифференцирования без упрощения.
При дифференцировании рекомендуется сразу писать результат дифференцирования без введения промежуточных аргументов. Все промежуточные операции следует выполнять в уме.
Пример 2. Найти производную функции .
▲ В уме: – Функция состоит из пяти основных элементарных функций: степенная, котангенс, арккосинус, показательная и .
▼
При дифференцировании можно руководствоваться следующим правилом:
1. Все функции считать сложными.
2. Научиться определять основные элементарные функции и их промежуточные аргументы.
3. Умножать на производную основной элементарной функции по промежуточному аргументу до тех пор, пока в результате дифференцирования не будет получена .
Порядок дифференцирования обратный порядку вычисления значения функции в точке.
Вычисление значения функции начинается справа налево, а дифференцирование наоборот – слева направо.
Первой дифференцируется та основная элементарная функция, которая вычислялась бы последней – это самое главное!
Чтобы обратить ваше внимание на порядок дифференцирования, в следующем примере основные элементарные функции подчеркнуты в соответствии с их порядковым номером при дифференцировании.
Пример 3. Найти производную функции .
▲ . ▼
Дата публикования: 2015-02-17; Прочитано: 694 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!