Решение. Х – искомое событие. По результату задачи 8: Р(Х) = 1–Р(Х) = 1– 1/4= =3/4

Х – искомое событие. По результату задачи 8: Р(Х) = 1–Р(Х) = 1– 1/4= =3/4. Найти ошибку в следующем рассуждении: ставим первую точку на окружность произвольно, тогда вторая точка всегда находится на той же полуокружности, а для третьей точки вероятность попасть в ту же полуплоскость =1/2.

10. Парадокс Бертрана. Найти вероятность того, что длина случайно взятой хорды в окружности единичного радиуса превзойдет (то есть сторону правильного вписанного треугольника) – это событие Х.

Приведем три решения задачи (с разными ответами) в зависимости от процедуры случайного выбора хорды.

а) Для выбора случайно хорды наугад берем на окружности две точки. Возьмем одну из них за вершину правильного вписанного в окружность треугольника. Тогда (см. рис) благоприятная область выбора второй точки выделена на рис. утолщением линии. Область всех возможных вариантов выбора второй точки - вся окружность, поэтому Р(Х)=1/3.

б) Выбор случайно хорды зададим случайным выбором точки основания перпендикуляра, опущенного из центра окружности на хорду. Тогда область благоприятных исходов есть вписанный в правильный треугольник крун радиусом r =1/2, поэтому

.

в) Выбор случайно хорды зададим случай-ным выбором расстояния по произвольному диаметру от центра окружности. Тогда, чтобы хорда > расстояние от выбранной точки до центра окружности должно быть <1/2, так что Р(Х)=1/2.