Пуассоновская схема

Проводится n независимых испытаний, в каждом 2 исхода: А – успех и – неуспех. Вероятности в i-ом опыте:

Р(А) = р_i р_i + q_i = 1

P() = q_i i= { при р_i = р получаем биноминальную схему}.

Нас интересует вероятность того, что в n испытаниях этой схемы полу-чается m успехов. Определим ее по формулам сложения и умножения вероятностей. Вероятность нуля успехов (m = 0):

P_n(0) = q₁· q₂·…·q_i.

Вероятность одного успеха (m=1):

P_n(1)= р₁· q₂·…·q_n+ q₁·р₂·…·q_n+q₁·q₂·…·q_n-1·p_n.

n–слагаемых =

Вероятность двух успехов (m=2):

P_n(2) = р₁· р₂·…·q_n+ q₁·р₂·…·q_n+q₁·q₂·…·q_n-2· p_n-1 ·p_n.

n–слагаемых =

и т.д.

По другому, для определения вероятностей P_n(m) (m= ) cоставляют функцию:

.

Легко заметить, что коэффициенты a₀, a₁,…, a_n совпадают с соот-ветствующими вероятностями вида Р_n(m), т.е. a₀= Р_n(0);…; a_n= Р_n(n).

Вывод: для нахождения вероятности Р_n(m) надо построить и найти коэффициент a_m:

Р_n(m)= a_m.

Причем, сумма всех коэффициентов a₀+ a₁+…+a_n = 1, т.к. это сумма вероятностей полной группы несовместимых исходов.

4. Проводится 4 независимых выстрела по мишени с вероятностью попадания 0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Найти вероятности всех возможных количеств попаданий.