Решение. Пусть х – кратчайшее расстояние от середины иглы до одной из прямых, – угол между иглой и направлением оси Оx

Пусть х – кратчайшее расстояние от середины иглы до одной из прямых, – угол между иглой и направлением оси Оx, х и полностью определяют положение иглы относительно графления плоскости, х меняется от 0 до а, от 0 до . Тогда прямоугольник со сторонами а и есть область возможных положений иглы, а заштрихованная ее часть – область благоприятных исходов. Поэтому искомая вероятность есть:

4. Задача о встрече. Двое договорились встретиться в течении часа, причем пришедший первым ждет второго часа. Найти вероятность того, что они встретятся, если каждый выбирает момент своего прихода случайно в течении часа. (Решить самостоятельно).

5. В единичный квадрат, лежащий в первой четверти наугад брошена точка с координатами и . Найти вероятность того, что:

а) (при ), для 0 ≤ а ≤ 1;

б)

в)

г)

д)

е)

Приведем примеры решения пунктов в) и г):

в)

г)

.

Остальные пункты решить самостоятельно.

В пункте е) рассмотреть случаи а < 1/2 и а >1/2.

6. На отрезке АВ длиной 1 поставлено наугад две точки L и М. Найти вероятность Р(Х) того, что: