П р и к л а д 1

Розглянемо множину всіх векторів, паралельних до дея­кої площини . Легко пере­кона­тись, що ця множина є підпростором простору V ₃. Дійсно, якщо вектори і паралельні до площини , то безпосередньо з означення суми векторів випливає, що й вектор паралельна (рис. 1.30).

Якщо , то й , . Згідно з теоремою про розклад вектора за двома неколінеарними векторами будь-який вектор даного під­простору є лінійною комбіна­цією двох неколінеарних век­торів цього ж підпростору. То­му будь-яка пара неколінеар­них векторів даного підпро­сто­ру, взятих у певному по­ряд­ку, є базисом цьо­го підпростору. Тому цей простір має розмірність 2, тобто є двовимірним підпростором простору V ₃. Надалі його позначатимемо V ₂.

Приклад 2. Розглянемо множину всіх векторів, паралельних до даної прямої (рис. 1.31). Ця множина також утворює підпростір простору . Дійсно, якщо , то й . Якщо , то й для .

Будь-який ненульовий вектор цього підпростору утворює його базис, бо будь-який інший вектор цього ж підпростору колінеарний вектору , а значить лінійно виражається через нього: . Тому даний підпростір є одновимірним підпростором простору V ₃. Надалі його позначатимемо .

Приклад 3. Множина, яка містить тільки нульовий вектор , також задовольняє умови підпростору: . Вона називається нульовим підпростором простору . Прийнято вважати, що розмірність цього підпростору дорівнює нулю.

§ 8. Координати вектора

Нехай – деякий базис простору , – довільний вектор цього простору. За теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами існують єдині числа такі, що

.

Коефіцієнти розкладу вектора за базисними векторами називаються координатами вектора в даному базисі. При цьому число називається першою координа­тою, число – другою, а число – третьою.

Якщо вектор в даному базисі має координати , то коротко це записують так: або .

Встановимо геометрич­ний зміст координат вектора в даному базисі. Для цього відкладемо вектори і від деякої точки О простору (рис. 1.32): .

О

Побудуємо паралелепіпед, ребра якого напрямлені вздовж прямих , а діагоналлю є відрізок . Тоді , де .

Тому

, якщо і , якщо ;

, якщо і , якщо ;

Аналогічно , якщо і , якщо .

Отже, координата з точністю до знака дорівнює довжині відрізка , виміряному в одиницях довжини . Знак же координати залежить від напрямку векторів і : , якщо і , якщо . Аналогічний зміст двох інших координат і .

Базисні вектори в самому базисі мають координати .

Зауважимо, що порядок розміщення координат є істотним.

Аналогічно визначаються координати вектора в підпросторі . Базис цього підпростору складається з 2-х неколінеарних векторів. Нехай система векторів є базисом підпростору . Тоді за теоремою про розклад вектора за двома неколінеарними векторами для будь-якого вектора із підпростору існують єдині числа такі, що . Коефіцієнти цього розкладу називаються координатами вектора в базисі . Число називається першою координатою, а число – другою. Аналогічним є і геометричний зміст координат вектора в підпросторі (рис. 1.33):

.

,

якщо

якщо

;

якщо

якщо

Базисні вектори мають координатами: .

Координати вектора в даному базисі повністю задають вектор.

Приклад 1. Дано прямокутний паралелепіпед , М – середина ребра , – середина ребра . Знайти координати векторів і в базисі , де (рис. 1.34).

Розв’язання

Маємо:

.

Приклад 2. Дано базисні вектори в підпросторі . Побудувати вектори, задані в цьому базисі координатами .

Розв’язання

Щоб побудувати вектор , відкладемо від деякої точки О базисні вектори . За правилом паралелограма будуємо вектор (рис. 1.35). Аналогічно будуємо інші вектори.

Приклад 3. У рівнобедреному трикутнику точка М – середина сторони СВ. Знайти координати вектора у базисі .

Розв’язання

Маємо: (рис. 1.36). Отже, .

Розглянемо властивості координат векторів.

Теорема 8.1. (ІІ ознака рівності векторів)

Для того, щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб були рівними їх координати.

Твердження цієї теореми очевидне, воно випливає з єдиності розкладу вектора за трьома некомпланарними векторами.

Теорема 8.2. Справджуються такі твердження:

1) координати суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат цих векторів;

2) координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат цих векторів;

3) координати добутку вектора на число дорівнюють добутку відповідних координат цього вектора на дане число.

Доведення

Доведемо, наприклад, 1-е твердження. Нехай у деякому базисі . Тоді за означенням координат вектора

.

Отже,

звідки випливає, що координати вектора відповідно дорівнюють , що й треба було довести.

Аналогічно доводяться і дві інші властивості.

Теорема 8.3. (ІІ ознака колінеарності двох векторів)

Для того, щоб два вектори і , задані в деякому базисі , були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними.

Доведення. Якщо , то твердження очевидне. Припустимо, що .

1) Необхідність. Нехай . Тоді існує таке число , що , звідки випливає, що ;

.

Отже, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.

3) Достатність. Нехай , тоді

.

Помноживши ці рівності на вектори відповідно, дістанемо

.

Додавши ці рівності, матимемо

,

або

,

тобто

.

Теорему доведено.

Приклад 4. Дано вектори своїми координатами в деякому базисі: . Знайти координати вектора .

Розв’язання.

За теоремою 2: , тобто

.

Приклад 5. При яких значеннях параметрів т і п вектори і колінеарні?

Розв’язання.

За теоремою 1.10: , звідки .

§ 9. Координати вектора в ортонормованому базисі

При розв’язуванні багатьох задач зручно розглядати ортонормовані базиси.

Означення 9.1. Базис векторного простору називається ортонормо­ва­ним, якщо всі вектори цього базису одиничні і взаємно перпендикулярні.

Вектори ортонормованого базису позначають . Згідно з означенням, ці вектори задовольняють такі умови:

1) ;

2) (рис. 1.37).

Якщо , то кути прямі.

Координати вектора в ортонормованому базисі – це (з точністю до знака) довжини ортогональних проекцій відповідного напрямленого відрізка на напрямки базисних векторів, якщо всі вони відкладені з однієї точки (рис. 1.38):

.

Отже, геометричний зміст координат в ортонормованому базисі такий: модуль координати дорівнює довжині відріз­ка , тобто довжині ортогональної проекції вектора на напрямлений відрізок . При цьому , якщо , , якщо . Аналогічний геометричний зміст мають і дві інші координати.

У просторі ортонормований базис позначається (рис. 1.39).

Якщо вектор заданий своїми координатами в ортонормованому базисі, то можна легко знайти його довжину. Має місце така теорема.

Теорема 9.1. Довжина вектора , заданого в ортонормованому ба­зи­сі, обчислюєть­ся за формулою:

. (1).

Доведення. Нехай . Відкладемо вектори від деякої точки О простору (рис. 1.38). За теоремою про довжину діагоналі прямокут­ного паралелепіпеда

Якщо одна з координат дорівнює нулю, наприклад, , то вектор ОА лежить у площині (рис. 1.40) і

.

Якщо дві координати дорівнюють нулю, наприклад, , то і, отже,

.

Отже, в будь-якому випадку формула (1) справедлива.

Аналогічна формула має місце і в просторі : якщо в деякому ортонормованому базисі задано вектор , то .

Приклад. Знайти довжини векторів, заданих в ортонормованому базисі своїми координатами: .

Розв’язання.

За формулою (1)

§ 10. Скалярний добуток векторів

Нехай – ненульові вектори. Відкладемо від деякої точки О вектори . Кутом між векторами і називається кут між променями ОА і ОВ (рис. 1.41). Позначають: , а його величину

Для будь-яких векторів і маємо .

Означення 10.1. Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними:

.

До поняття скалярного добутку приводять багато фізичних задач.

Наприклад, робота сили , під дією якої матеріальна точка здійснює пе­ре­мі­щення , дорівнює (рис. 1.42).

Теорема 10.1. Скалярний добуток векторів і , заданих в ортонормованому базисі, обчислюється за формулою:

. (1)

Доведення. Якщо один із векторів або обидва нульові, то формула очевидна. Припус­тимо, що і розглянемо два випадки.

1) Вектори і неколінеарні. Відкладемо вектори (рис. 1.43). Нехай .

З за теоремою косинусів , або

,

звідки

.

Отже,

.

2) Вектори і колінеарні. Тоді ;

.

Теорему доведено.

З теореми і означення випливають такі властивості скалярного добутку векторів:

1. тоді і тільки тоді, коли , якщо .

2. .

3. .

4. .

5. .

Довести їх пропонуємо самостійно.

Формула, аналогічна до формули (1), має місце і в просторі .

Справді, нехай в ортонормованому базисі простору задано вектори , . Тоді, користуючись властивостями 1-5, дістанемо:

.

Отже,

. (2)

З означення скалярного добутку і формул (1), (2) випливають такі формули для обчислення косинуса кута між векторами:

у просторі V ₃:

;

у просторі V ₂:

.

Векторна алгебра може ефективно використовуватися для розв’язування задач елементарної геометрії. Особливо ефективним є векторний метод при розв’язуванні задач, в яких вимагається знайти довжину якогось відрізка або кут між прямими, якщо при цьому відомо довжини яких-небудь двох непаралельних відрізків і кут між ними. У цьому разі вводяться два неколінеарні вектори, напрямлені вздовж заданих відрізків, і шуканий вектор-відрізок виражається через ці вектори. Якщо ж треба знайти кут між прямими, то вводять вектори, напрямлені по цих прямих, і виражають їх через задані вектори. Після цього використовують формулу довжини вектора або косинуса кута між векторами. Покажемо це на прикладах.

Приклад 1. Знайти і кут між векторами і , якщо .

Розв’язання.

Із властивості 2 маємо:

.

За означенням скалярного добутку

.

Отже, .

Приклад 2. У рівнобедреному трикутнику кут при вершині С дорівнює . Знайти кут між медіанами , , проведеними до бічних сторін.

Розв’язання.

Введемо вектори (рис. 1.44). Тоді , ;

.