Властивості операції додавання векторів

Властивість 1. Операція додавання векторів комутативна, тобто для будь-яких векторів і : .

Дійсно, за правилом трикутника маємо (рис. 1.13):

Властивість 2. Операція додавання векторів асоціативна, тобто для будь-яких векторів .

Доведення.

Візьмемо довільно точку А і від неї відкладемо вектори , , (рис. 1.14).

Тоді , ;

.

Отже, .

Властивість 3. Сумою протилежних векторів є нуль-вектор: .

Доведення.

Нехай , тоді і за правилом три­кутника матимемо .

Властивість 4. Нуль-вектор є нейтральним елементом операції додавання: .

Доведення.

Нехай , тоді за правилом трикутника

.

Друга рівність випливає з властивості 1.

З наведених властивостей додавання векторів випливає, що операція додавання векторів володіє тими ж властивостями, що і операція додавання чисел. Тому часто при перетворенні сум векторів діємо так само, як і при перетворенні числових виразів:

= .

Сума більшої кількості векторів знаходиться за правилом многокутника:

Щоб знайти суму n векторів (рис. 1.15), потрібно з довільної точки О відкласти вектор , з його кінця – вектор (початок кожного наступного вектора-доданка є кінцем попереднього). Вектор буде сумою даних векторів.