Розв’язання. За властивостями медіан трикутника маємо:

За властивостями медіан трикутника маємо:

.

§ 6. Лінійна залежність векторів

Означення 6.1. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що

. (1)

Якщо ж рівність (1) справджується тільки при , то дана система векторів називається лінійно незалежною.

Розглянемо деякі властивості лінійної залежності векторів, які будуть потрібні далі.

Властивість 1. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Д о в е д е н н я

1) Необхідність. Нехай система векторів лінійно залежна. Тоді існують такі числа , що (1)

При цьому принаймні одне з чисел не дорівнює нулю. Нехай, наприклад, . Тоді з рівності (1) одержимо:

.

Отже, вектор є лінійною комбінацією векторів .

2) Достатність. Нехай у даній системі векторів вектор є лінійною комбінацією інших векторів:

.

Цю рівність можна записати так:

.

У цій рівності коефіцієнт біля відмінний від нуля, тому дана система векторів лінійно залежна.

Властивість 2. Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна.

Д о в е д е н н я. Нехай задана система векторів і відомо, що система векторів лінійно залежна. Отже, існують числа , принаймні одне з яких відмінне від нуля, що .

Тоді справджується рівність

,

де принаймні один з коефіцієнтів відмінний від нуля, тобто дана система векторів лінійно залежна.

Властивість 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її частина також лінійно незалежна.

Ця властивість безпосередньо випливає із властивості 2, бо якби деяка частина даної системи векторів була лінійно залежною, то і вся система була б лінійно залежною.

Властивість 4. Система лінійно незалежних векторів не містить нульового вектора.

Якщо в деякій системі векторів є нульовий вектор: , то виконується рівність . , тому така система є лінійно залежною, а отже, система лінійно незалежних векторів не може містити нульового вектора.

Для системи двох і трьох векторів поняття лінійної залежності тісно пов’язане з колінеарністю і компланарністю векторів. Справджуються такі теореми.